Методы рациональных вычислений. Занятие 2

1.

Тренировочная работа
1. Упростить выражение: 24 – 19 + 8 ∙ t – 7 – 4 ∙ t – t + t
= (8 ∙ t – 4 ∙ t – t + t ) + (24 – 19 – 7) = 4 ∙ t – 2
2. Трех сестер зовут Даша, Анфиса и Лариса. У них разные профессии и они живут в
разных городах: одна в Ростове, вторая – в Париже и третья – в Москве.
Известно, что:
1. Даша живет не в Париже, а Лариса – не в Ростове, 2. парижанка – не актриса,
3. в Ростове живет певица, 4. Лариса – не балерина.
Где живет Анфиса и какова ее профессия?
Решение. Заполним таблицу.
+
+
Из 1, 3 и 4 - Лариса стала актрисой.
+
+
Из 2 и 3 - Лариса живет в Москве.
+
+
Получается, что Даша живет в Ростове, из 3 – она певица.
Путем исключений получаем, что Анфиса балерина и живет в Париже.
Ответ. Анфиса балерина и живет в Париже

2.

3. На карточках выписаны все двузначные числа. Сколько
карточек нужно взять не глядя, чтобы по крайней мере
одно из чисел делилось: а) на 2; б) на 7; в) на 2 или на 7?
Решение. Имеем карточки от 10 до 99. Всего их 90.
а) В худшем случае, выбирая не глядя карточки, мы сначала будем иметь только
нечетные числа – их 45, и поэтому 46-е число будет обязательно четным.
б) 1) наименьшее, которое делится на 7 – 14, наибольшее – 98.
14 : 7 = 2, 98 : 7 = 14. От 2 до 14 - 13 чисел – делятся на 7.
2) 90 – 13 = 77 чисел, не делящихся на 7
3) в худшем случае мы возьмем сначала 77 чисел, не делящихся на 7,
но 78-е число уже точно будет делиться на 7.

3.

в) Среди 90 двузначных чисел имеется 13 чисел, кратных 7, и 45 чисел, кратных 2.
1) 99 : 14 = 7 (ост.1) - числа, которые делятся и на 2, и на 7, т.е. на 14.
2) 45 + 13 – 7 = 51 чисел, делящихся или на 2, или на 7.
3) 90 – 51 = 39 чисел не делятся ни на 2, ни на 7
4) 39 + 1 = 40 карточек нужно взять
Ответ: а) 46, б) 78, в) 40.

4.

Методы рациональных
вычислений
Занятие 2

5.

Сложение
Компоненты сложения:
слагаемое + слагаемое = сумма
Сложить можно любые натуральные числа. Прибавляя к одному числу другое,
мы увеличиваем его НА второе число.
Законы сложения: a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c)
Из законов сложения следует: В сумме нескольких слагаемых можно складывать
слагаемые в любом порядке.
Например: 46 + 22 + 18 = 46 + (22 + 18) = 46 + 40 = 86
27 + 15 = 27 + 3 + 12 = 30 + 12 = 42

6.

Вычитание
Компоненты вычитания:
уменьшаемое – вычитаемое = разность
Разность двух натуральных чисел можно найти только когда уменьшаемое
больше вычитаемого или равно ему. Вычитая из одного числа другое число, мы
уменьшаем данное число НА второе число.
При прибавлении к уменьшаемому и вычитаемому одного и того же числа
разность не изменится. То есть если a - b = c, то (a + n) – (b + n) = c
Например:
68 – 19 = 69 – 20 = 49
35 - 18 = 37 – 20 = 17
Правило раскрытия скобок при сложении и вычитании.
Если перед скобками стоит знак «+», то после раскрытия скобок слагаемые из скобок
сохраняют свои знаки, а если знак «−», то они меняют знак на противоположный:
а + (в + с) = а + в + с
а − (в + с) = а − в − с
а − (в − с) = а − в + с

7.

Умножение
Компоненты умножения:
множитель • множитель = произведение
Умножать можно любые натуральные числа. Умножая одно число на другое,
мы увеличиваем его ВО столько раз, чему равно второе числе.
Законы умножения: a ۰ b = b ۰ a,
(a ۰ b) ۰ c = a ۰ (b ۰ c)
Из законов умножения следует: В произведении нескольких множителей
можно перемножать множители в любом порядке.
Например: 2 ۰ 37 ۰ 5 = 37 ۰ (2 ۰ 5) = 370
Распределительный закон: a ۰ (b + c) = a ۰b + a ۰c и a ۰ (b - c) = a ۰b - a ۰c
чтобы умножить скобку на число, надо каждое число внутри скобок умножить на
это число, а затем выполнить сложение (или вычитание) получившихся чисел.
Замечание: распределительный закон верен для любого числа слагаемых.

8.

Например:
1) 247۰3 = (200 + 40 + 7)۰ 3 = 200۰3+40۰3+7۰3 = 600 + 120 +21 = 741
2) 17۰12 + 43۰12 = 12۰ (17 + 43)
= 12۰60 = (10 + 2)۰ 60 = 720
3) 99۰7 = (100 - 1) ۰ 7 = 100۰7 – 1۰7 = 700 – 7 = 693
4) 25۰11 – 25 = 25۰11 – 25۰1 = 25۰ (11 –1) = 250

9.

Деление
Компоненты деления:
делимое : делитель = частное
При делении одного числа на другое, мы находим ВО сколько РАЗ первое число
больше второго.
Делимое и делитель можно умножить или разделить на одно и тоже натуральное
число – частное от этого не изменится.
например: 48 : 24 = (48 : 2) : (24 : 2) = 24 : 12 = 2
Распределительный закон: (b ± c) : а = b : а ± c : а - чтобы разделить скобку на
число, надо каждое число внутри скобок разделить на это число, , а затем
выполнить сложение (или вычитание) получившихся чисел.
Пример: (24 + 54) : 6 = 24 : 6 + 54 : 6 = 4 + 9 = 13
208 : 8 – 128 : 8 = (208 - 128) : 8 = 80 : 8 = 10

10.

Если число не делится на другое нацело, то его можно разделить с остатком.
Остаток — это то, что осталось от действия деления неразделённым. Например,
пять разделить на два будет два и один в остатке: 5 : 2 = 2 (ост. 1)
Можно проверить это умножением: (2۰2) + 1 = 5
Остаток всегда меньше делителя!
Упражнение. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая
спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее количество
шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно
было разместить всех пассажиров и членов команды?
Решение.
(750 + 25) : 70 = 775 : 70 = (770 + 5) : 70= 11 (ост. 5).
Значит, 11 шлюпок заполнены полностью, а для оставшихся 5 человек нужна
еще одна, двенадцатая, шлюпка.
Ответ. 12 шлюпок

11.

Рациональный способ решения примеров - более быстрый, легкий и удобный.
Полезно помнить:
2۰5 = 10,
4۰25 = 100,
5۰20 = 100,
Число можно представить по-разному:
24 = 2۰12 = 3۰8 = 4۰6
60 = 3۰20 = 4۰15 = 5۰12
4۰125 = 500,
8۰125 = 1000

12.

Потренируемся!
1. Вычисление не в прямом порядке:
1) 44 + (56 + 45) = (44 + 56) + 45 = 145
2) 8۰11۰3۰125 =
8۰125۰11۰3 = 33000
3) 240 : 34۰680 = 240۰(680 : 34) = 240۰20 = 480
2. Округление и разложение чисел:
1) 27 + 59 =
27 + 60 – 1 = 86
2) 347۰99 =
347۰(100 - 1) = 347۰100 − 347 = 34700 − 300 – 40 - 7 = 34353
3) 168 + 33 =
618 + 2 + 31 = 170 + 31 = 170 + 30+ 1= 201
4) 78 : 6 =
(60 + 18) : 6 = 10 + 3 = 13

13.

3. Раскрытие скобок (внимательно со знаками!):
1) 43 – (13 + 5) = 43 – 13 – 5 = 30 – 5 = 25
2) 43 – (13 – 5) = 43 – 13 + 5 = 30 + 5 = 35
3) 156 - 7۰(20 + 2) = 156 – (7۰20 + 7۰2) = 156 – 140 – 14 = 2
4) 156 - (20 - 2)۰7 = 156 – (7۰20 – 7۰2) = 156 – 140 + 14 = 30
4. Вынесение общего множителя или делителя:
1) 3۰16 + 16۰7 = 16۰ (3 + 7) = 16۰10 = 160
2) 169 : 13 – 39 : 13 = (169 - 39) : 13 = 130 : 13 = 10
3) 46۰32 + 8۰16 = 46۰2۰16 + 8۰16 = 16۰ (92 + 8) = 1600

14.

5. Сравните: 239۰244 и 240۰243. На сколько отличаются?
Решение.
239۰244 = 239۰(243 + 1) = 239۰243 + 239
+4
240۰243 = 243۰(239 + 1) = 239۰243 + 243
Ответ: 239۰244 < 240۰243 на 4