Асимптоты графика функции.
Асимптоты графика функции.
Асимптоты графика функции.
Примеры вертикальных асимптот.
Примеры вертикальных асимптот.
Примеры вертикальных асимптот.
Асимптоты графика функции.
Примеры горизонтальных асимптот.
Примеры горизонтальных асимптот.
Асимптоты графика функции.
Примеры наклонных асимптот.
Примеры наклонных асимптот.
Примеры наклонных асимптот.
Замечание. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты
Общая схема исследования функций.
268.00K
Category: mathematicsmathematics

Асимптоты графика функции

1. Асимптоты графика функции.

Опр. Асимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, к которой неограниченно
приближается точка графика функции при
неограниченном удалении от начала координат.

2.

вертикальная асимптота
горизонтальные асимптоты
наклонные асимптоты

3. Асимптоты графика функции.

Теорема 1. Если lim f x
x a
то прямая x=a является вертикальной асимптотой
графика функции y=f(x).

4. Асимптоты графика функции.

Cледствие. Вертикальные асимптоты следует
искать в точках разрыва области определения и
на концах ее области определения (если
область определения имеет вид
(a,b), (a,+∞), (-∞,b)).

5. Примеры вертикальных асимптот.

Пример1.
1
f x
x 3

6. Примеры вертикальных асимптот.

1
f x
x 3
lim f x
Пример1.
x 3
-3
x 3
вертикальная
асимптота

7. Примеры вертикальных асимптот.

Пример 2.
x 1
f x 2
x 1

8. Асимптоты графика функции.

Теорема 2. Если lim f
x
x a , то
прямая y=a
является горизонтальной асимптотой.

9. Примеры горизонтальных асимптот.

Пример1.
1
f x 2
x

10. Примеры горизонтальных асимптот.

1
f x 2
x
lim f x 2
Пример1.
x
y 2
горизонтальная
асимптота
-3

11. Асимптоты графика функции.

Теорема 3. Если
f ( x)
a , lim f ( x) a x b
lim
x
x
x
то прямая y=ax+b является наклонной асимптотой.

12. Примеры наклонных асимптот.

2
x
x 2
Пример1.
f x
x

13. Примеры наклонных асимптот.

2
x
x 2
Пример1.
f x
x
1 2
1 2
2
f ( x)
x x 2
x x 1
a lim
lim
lim
2
x
x
x
x
x
1
x2 x 2
x2 x 2 x2
x 2
b lim f ( x) ax lim
x lim
lim
x
x
x
x
x
x x
2
1
x
lim
1
x
1

14. Примеры наклонных асимптот.

2
x
x 2
Пример1.
f x
x
y x 1
наклонная асимптота
-3

15. Замечание. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты

y=ax+b
Если а=0, то наклонная асимптота становится горизонтальной.
Поэтому горизонтальные асимптоты можно не искать,
сразу искать наклонные.

16. Общая схема исследования функций.

1. Область определения.
2. Исследование на четность-нечетность.
3. Асимптоты.
4. Экстремумы и интервалы монотонности.
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости.
6. Точки пресечения с осями координат.
7. График функции.

17.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
1. Область определения

18.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
1. Область определения
( ;3) (3; )

19.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
2. Исследование на четность-нечетность.
f(-x)=……

20.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
2. Исследование на четность-нечетность.
Функция общего вида

21.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
А) вертикальные
x=3 – точка разрыва

22.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
А) вертикальные
x=3 – точка разрыва
x 2 6 x 13 4
lim
x 3
x 3
0
x=3 – вертикальная асимптота

23.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
б) горизонтальные и наклонные y=ax+b
f ( x)
x 6 x 13
a lim
lim
x
x
x
( x 3) x
2

24.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
f ( x)
x 6 x 13
x 6 x 13
a lim
lim
lim
2
x
x
x
x
( x 3) x
x 3x
2
6 13
1 2
x x 1
lim
3
x
1
x
2

25.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
x 2 6 x 13
b lim f ( x) ax lim
x
x
x
x 3

26.

Пример
x 2 6 x 13
f x
x 3
3. Асимптоты
в) наклонные y=ax+b
x 2 6 x 13
b lim f ( x) ax lim
x
x
x
x 3
x 2 6 x 13 x 2 3 x
3 x 13
lim
lim
x
x 3
x x 3
13
x 3
lim
3
x
1
x
3
y=x-3 – наклонная асимптота,
горизонтальных асимптот нет

27.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
( x 2 6 x 13) ( x 3) ( x 3) ( x 2 6 x 13)
f x
2
( x 3)

28.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
( x 2 6 x 13) ( x 3) ( x 3) ( x 2 6 x 13)
f x
2
( x 3)
(2 x 6)( x 3) ( x 2 6 x 13)
2
( x 3)
2 x 2 6 x 6 x 18 x 2 6 x 13 x 2 6 x 5
2
2
( x 3)
( x 3)

29.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
f x 0
x2 6 x 5
0
2
( x 3)

30.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
x2 6 x 5
0
2
( x 3)
f x 0
+
1
т. max
f 1
x 1, x 5
+
3
5
т. min
f 5

31.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
4. Экстремумы и интервалы монотонности
x2 6 x 5
0
2
( x 3)
f x 0
+
1
x 1, x 5
+
3
т. max
1 6 13 8
f 1
4
1 3
2
5
т. min
25 30 13 8
f 5
4
5 3
2

32.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
x 2 6 x 5
f x
2
( x 3)

33.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
2
2
2 2
x 6 x 5 ( x 6 x 5) ( x 3) ( x 3) ( x 6 x 5)
f x
2
4
( x 3)
( x 3)
(2 x 6)( x 3) 2 2( x 3)( x 2 6 x 5)
4
( x 3)
(2 x 6)( x 3) 2( x 2 6 x 5)
3
( x 3)
2
2 x 2 6 x 6 x 18 2 x 2 12 x 10
8
3
3
( x 3)
( x 3)

34.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
5. Точки перегиба и интервалы выпуклости
f x 0
8
0
3
( x 3)
-
Точек перегиба нет
3
Решений нет
+

35.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OX y=0
x 2 6 x 13
0
x 3

36.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OX y=0
x 2 6 x 13
0
x 3
D 0
Точек пересечения с OX нет

37.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY x=0
f 0

38.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
6. Точки пересечения с осями координат.
С осью OY x=0
13
1
f 0
4
3
3

39.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
7. График функции. Сначала строим асимптоты
x=3
y=x-3
3
-3

40.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
7. График функции. Отмечаем точки экстремума
x=3
y=x-3
4
1
-3
-4
3
5

41.

2
x
Пример f x 6 x 13
x 3
7. График функции. Отмечаем точки пересечения с осями и строим
график
x=3
y=x-3
4
1
-3
-4
4
1
3
3
5
English     Русский Rules