Исследование функций

1. Математика. Лекция 13.

Исследование функций.

2. Асимптоты графика функции

Асимптота к графику функции y f (x) - это прямая, к которой
приближается точка М (х, у), лежащая на графике, при
неограниченном удалении ее от начала координат.
Асимптоты бывают наклонные y kx b (как частный случай –
горизонтальные: y b ) или вертикальные: х = а.

3. Вертикальные асимптоты.

Прямая x a является вертикальной асимптотой графика
функции, если хотя бы один из односторонних пределов (левый
или правый) функции в точке x a равен :
lim f ( x) и / или lim f ( x) -
и/или
x a 0
x a 0
lim f ( x)
x a-0
и / или
lim f ( x) - .
x a-0
Вертикальные асимптоты могут находиться:
в точках разрыва 2 рода;
на границах области определения.

4.

Пример.
График функции
y
1
x 2
имеет вертикальную
асимптоту x=2 . Действительно,
lim
x 2 0
1
x 2
,
lim
x 2 0
1
.
x 2
Точка х=2 – точка разрыва 2 рода функции.
Пример. График функции y=ln x имеет вертикальную
асимптоту х=0 . Действительно, lim ln x . Область определения
x 0 0
функции – интервал
определения.
(0,+∞). Точка
х=0 – граница области

5. Наклонные асимптоты.

Прямая y kx b является наклонной асимптотой графика
функции в ( - ), если функция представима в виде
f ( x) kx b ( x) ( (x ) - бесконечно малая функция).
Наклонная асимптота y k1x b1 существует в - , если существуют
конечные пределы:
f ( x)
( f ( x ) - k1 x ) .
, b1 xlim
k1 lim
-
x -
x
Аналогично для y k2 x b2 в
f ( x)
( f ( x) - k 2 x) .
, b2 xlim
k 2 lim
x
:
x
В частных случаях возможны значения коэффициентов наклона
k1 0 и/или k2 0 - горизонтальные асимптоты.
В общем случае в - и в для графика одной функции возможны
различные асимптоты.

6.

Пример. Найти асимптоты графика функции
y
2x 1
.
x 1
Решение. Функция определена, если знаменатель x 1 0, x 1.
Таким образом, область определения - объединение интервалов
( ,1) (1, ).
Точка х=1 –точка разрыва.
2х 1
,
x 1
Так как lim
x 1 0
прямая
k lim
x
х=1 является вертикальной асимптотой. Далее имеем:
f ( x)
2x 1
2x 1
lim
lim 2
lim
x
x
(
x
1
)
x
x x x
x
так как lim
x
2
0,
x
lim
x
b lim ( f ( x ) kx) lim
x
lim
x 1 0
2х 1
,
x 1
x
2x
2
x
x2
2
x
1
2 1
2
2
x x 0,
x
lim
1
x
x 1
x
x2
1
0;
2
x
2x 1
lim
x 1
x
2x 1
1
2
x x
x 2.
lim
x 1
x 1 1
x x
x
Следовательно, прямая y=kx+b, то есть y=2 – горизонтальная
асимптота .

7.

Пример. Найдем асимптоты графика функции
( x 1)3
y
( x - 1) 2
а) На вертикальную асимптоту подозрительна точка
исследуем:
.
x 1,
которую и
( x 1) 3
8
lim
(
) ;
x 1 - 0 ( x - 1) 2
0
( x 1) 3
8
lim
(
) .
x 1 0 ( x - 1) 2
0
Т.е. воображаемая вертикальная прямая x 1 является вертикальной
асимптотой, при приближении к которой слева и справа график
функции уходит вверх.

8.

б) Для исследования на наклонную асимптоту вычислим:
( x 1)3
x3
k1 lim
lim 3 1;
x - ( x - 1) 2 x
x - x
( x 1)3
( x 1)3 - x ( x - 1) 2
b1 lim (
- 1 x) lim
2
x - ( x - 1) 2
x -
( x - 1)
x3 3 12 x 3 1 x 2 13 - x ( x 2 - 2x 1)
lim
2
x -
( x - 1)
5x 2 2 x 1
5x 2
lim 2
lim 2 5 .
x - x - 2x 1
x - x
Т.к. полученные пределы конечны (получены числа), то на -
имеем наклонную асимптоту y x 5 .

9.

Аналогично,
( x 1)3
x3
k2 lim
lim 3 1;
2
x ( x - 1) x
x x
( x 1)3
( x 1)3 - x ( x - 1) 2
b2 lim (
- 1 x) lim
2
x ( x - 1) 2
x
( x - 1)
5x 2 2 x 1
5x 2
lim 2
lim 2 5 .
x x - 2x 1
x x
Т.е. и на существует та же асимптота y x 5 .

10. Общая схема исследования функции и построения графика.

План полного исследования функции:
1. По формуле функции выяснить:
а) область определения функции;
б) симметричность графика (четность-нечетность
функции);
в) периодичность функции;
г) непрерывность функции, возможные точки
разрыва и поведение функции вблизи неё;
д) асимптоты графика (вертикальные и наклонные);
е) точки пересечения графика с осями координат и
интервалы знакопостоянства функции.

11. План полного исследования функции:

2. Вычислить первую производную функции и по ней выяснить:
а) критические точки 1-го рода;
б) интервалы монотонности функции (интервалы знакопостоянства первой
производной);
в) точки локального экстремума;
г) значения функции в точках экстремума.
3. Вычислить вторую производную функции и по ней выяснить:
а) критические точки 2-го рода;
б) интервалы выпуклости функции вверх и вниз (интервалы
знакопостоянства второй производной);
в) точки перегиба;
г) значения функции в точках перегиба.
4. Построить график функции по результатам исследования.

12.

Пример полного исследование функции
8 x - 3x 2
y
( x - 2) 2
с построением графика.
1. Проанализируем формулу функции.
а) Область определения функции
б) Т.к.
8(- x) - 3(- x) 2 - 8x - 3x 2
y(- x)
(- x - 2) 2
( x 2) 2
D( y ) : x 2 .
, то функция не является ни четной, ни
нечетной, она общего вида. Т.е. её график несимметричен.
в) Т.к. в формуле данной функции нет периодических составляющих, то
она непериодическая.

13.

Пример полного исследование функции
8 x - 3x 2
y
( x - 2) 2
с построением графика.
г) Подозрительна на разрыв точка x 2 . Выясним тип разрыва и поведение
функции вблизи этой точки:
8 x - 3x 2
4
lim
(
)
x 2-0 ( x - 2) 2
0
(т.е. при приближении к
x 2
слева график уходит вверх);
8 x - 3x 2
4
lim
(
)
x 2 0 ( x - 2) 2
0
(т.е. при приближении к x 2 справа график также уходит вверх).
Т.о. в точке x 2 функция терпит разрыв 2-го рода.

14.

Пример полного исследование функции
8 x - 3x 2
y
( x - 2) 2
с построением графика.
д) Определим, есть ли у графика функции асимптоты.
Выше уже выяснено, что оба односторонних предела в точке x 2 равны
, т.е. у графика данной функции есть вертикальная асимптота – прямая
x 2.
Для нахождения наклонной асимптоты y k1x b1 при x - (т.е. далеко
влево от начала координат) вычислим пределы:
f ( x)
8 x - 3x 2
- 3x 2
-3
-3
k1 lim
lim
lim
lim
(
) 0;
x -
x - ( x - 2) 2 x
x - x 3
x - x
x
-
8x - 3x 2
8x - 3x 2
- 3x 2
b1 lim ( f ( x) - k1 x) lim (
- 0 x) lim
lim
-3 .
x
x ( x - 2) 2
x ( x - 2) 2
x x 2
Т.к. получены конечные пределы, то при x - имеем наклонную (а
именно - горизонтальную) асимптоту y 0 x - 3 -3.

15.

Пример полного исследование функции
8 x - 3x 2
y
( x - 2) 2
с построением графика.
Аналогичными вычислениями получаем при
x :
f ( x)
8 x - 3x 2
- 3x 2
-3
-3
k 2 lim
lim
lim
lim
(
) 0;
2
3
x
x
x
x
x
x
( x - 2) x
x
8 x - 3x 2
8 x - 3x 2
b2 lim ( f ( x) - k 1 x) lim (
- 0 x) lim
x
x ( x - 2) 2
x ( x - 2) 2
lim
x
- 3x 2
2
-3
.
Горизонтальная асимптота y -3 при
x
x .

16.

е) Найдем точки пересечения функции с осями координат.
В точках пересечения графика с осью OX координаты y равны 0:
8x - 3x 2
y
0
2
( x - 2)
8 x - 3x 2 0
x(8 - 3x) 0 .
Это точки с абсциссами x 0 и x 8 3 .
В точках пересечения графика с осью OY координаты x равны 0:
8 0 - 3 02
y(0)
0.
2
(0 - 2)

17.

Выясним интервалы знакопостоянства функции. Для этого нанесем на ось
ОХ особые точки: точки разрыва ( x 2 ) и точки пересечения с осью OX (
x 8 ). Расставим в интервалах знаки функции, подставив
x 0,
3
произвольные точки из этих интервалов:
8 (-1) - 3 (-1) 2 - 8 - 3 11
y(-1)
- 0;
(-1- 2) 2
(-3) 2
9
8 1 - 3 12 8 - 3 5
y(1)
5 0;
2
2
(1 - 2)
(-1)
1
7
8 ( 7 ) - 3 ( 7 ) 2 56 - 49
3
3 3
3 3 21 0 ;
y( 7 )
2
2
3
1
(1 )
( 7 - 2)
3
9
3
8 3 - 3 32 24 - 27 - 3
y(3)
-3 0 .
(3 - 2) 2
12
1
Значит, в интервалах (- ;0) и ( 8 3 ; ) график
OX, а в
(0;2)
и
(2; 8 )
3
- выше оси OX.
функции проходит ниже оси

18.

2. Найдет производную функции:
8x - 3x 2
(8 - 6x) ( x - 2) 2 - (8x - 3x 2 )2( x - 2)
y ' (
)'
( x - 2) 2
( x - 2) 4
(8 - 6x) ( x - 2) - 2(8x - 3x 2 ) 8x - 16 - 6x 2 12x - 16 x 6x 2
( x - 2)3
( x - 2)3
4 x - 16 4( x - 4)
.
( x - 2)3 ( x - 2)3
а) Найдем критические точки 1-го рода.
По необходимому условию локального экстремума это точки области
определения, в которых первая производная равна 0, стремится к
бесконечности или не существует.
Производная данной функции не существует в точке x 2 , но эта точка
является точкой разрыва и быть экстремумом не может.
Приравняем производную нулю: y ' 4( x - 4)3 0 x 4 .
( x - 2)

19.

б) Выясним интервалы знакопостоянства первой производной, т.е.
возрастания-убывания функции. Нанесем точки x 2 и x 4 на ось и
расставим знаки производной.
Анализ знаков производной показывает, что на интервалах (- ;2) и (4; )
функция возрастает, на (2;4) - убывает.
в) Определим точки локального экстремума.
По достаточному условию локального экстремума это точки области
определения, при переходе через которые производная меняет знак. Т.к.
точка x 2 является точкой разрыва, то она не является точкой экстремума,
несмотря не смену знака первой производной.
А в точке x 4 знак первой производной меняется с «+» на «–», т.е. это
точка локального минимума.
г) Чтобы нанести в дальнейшем эту точку на график, вычислим значение
функции в ней:
8 4 - 3 4 2 32 - 48 - 16
y(4)
- 4.
(4 - 2) 2
22
4

20.

3. Найдет вторую производную анализируемой функции:
4( x - 2)3 - 4( x - 4)3( x - 2) 2 4( x - 2) - 12( x - 4)
4( x - 4)
)'
y '' (
( x - 2) 4
( x - 2)6
( x - 2)3
4 x - 8 - 12 x 48 - 8 x 40 8(5 - x)
.
( x - 2) 4
( x - 2) 4
( x - 2) 4
а) Найдем критические точки 2-го рода. По необходимому условию точек
перегиба это точки области определения, в которых вторая производная
равна 0, стремится к бесконечности или не существует.
В данном случае это точки x 2 и x 5 . Но первая точка является точкой
разрыва. А вот x 5 - критическая точка 2-го рода.

21.

б) Выясним интервалы знакопостоянства второй производной, т.е. характер
выпуклости функции. Нанесем точки x 2 и x 5 на ось и расставим знаки
второй производной .
Анализ знаков второй производной показывает, что на интервалах (- ;2) и
( 2;5) график функции выпуклый вниз, на (5; ) - выпуклый вверх.
в) Определим точки перегиба.
По достаточному признаку перегиба это точки области определения, при
переходе через которые y ' ' меняет знак.
Знак второй производной (направление выпуклости графика) меняется в
точке x 5 , которая принадлежит области определения. Она является
точкой перегиба.
г) Вычислим значение функции в точке перегиба:
8 5 - 3 52 40 - 75 - 35
y(5)
- 3,89 .
(5 - 2) 2
32
9

22.

4. Проанализируем полученные вычисления и построим график.
Нанесем штриховой линией вертикальную асимптоту x 2 . Как
показывают расчеты (п.1-г), график функции при подходе к этой прямой
уходит вверх при приближении как слева, так и справа.
Нанесем горизонтальную асимптоту y -3 . Т.к. функция непериодическая,
то приближается к ней только с одной стороны (сверху или снизу). Пока не
ясно, с какой именно. На интервале (- ;2) функция только возрастает,
причем является вогнутой. И на этом интервале нет экстремумов. Значит,
график до точки x 2 проходит именно так, как изображено на рисунке.
График после точки x 2 сначала
убывает до точки (4;-4) , в которой он
имеет минимум. После этого
функция возрастает. Но как именно?
График вогнут вплоть до точки
перегиба x 5 , после чего становится
выпуклым. Но выпуклым он мог бы
быть
по-разному.
Здесь
он
асимптотически приближается к
горизонтальной прямой y -3 , почти
сливаясь с ней в .