Гетероскедастичность случайной составляющей

1. Гетероскедастичность случайной составляющей

Гетероскедастичность означает, что ошибки
регрессии имеют непостоянные дисперсии
yi a1 xi1 a2 xi 2
ar 1 xir 1 ar i
i 1, n
D i const
1

2. Примеры моделей с гетероскедастичной случайной составляющей

а)
б)
в)
а) Дисперсия 2 растет по мере увеличения значений
объясняющей переменной X
б) Дисперсия 2 имеет наибольшие значения при средних
значениях X, уменьшаясь по мере приближения к крайним
значениям
в) Дисперсия ошибки наибольшая при малых значениях X,
быстро уменьшается и становится однородной по мере
увеличения X
2

3. ПРИМЕР (зависимость инвестиций от ВРП в 2006г. по российским регионам)

Регион
Белгородская область
VRP
INV
119673,20
48422
Брянская область
61888,30
10973
Владимирская область
76328,10
20292
Воронежская область
70849,40
36265
Ивановская область
47949,80
14652

4. ПРИМЕР (зависимость инвестиций от ВРП в 2006г. по российским регионам)

Коэффи
циенты
Станда
ртная
ошибка
Yпересечение
5164,439
11352,89 0,454901 0,650428
VRP
0,345983 0,070519 4,906268
INV 0,346 VRP 5164
tстатис
тика
PЗначени
е
4,88E-06

5. ПРИМЕР (зависимость инвестиций от ВРП в 2006г. по российским регионам)

600000
500000
INV
400000
300000
y = 0,346x + 5164,4
200000
100000
0
0,00
200000,0 400000,0 600000,0 800000,0 1000000,
0
0
0
0
00
VRP
5

6. ПРИМЕР (зависимость инвестиций от ВРП в 2006г. по российским регионам)

e
Остатки
500000
400000
300000
200000
100000
0
-1000000,00
-200000
-300000
Остатки
200000 400000 600000 800000 100000
,00
,00
,00
,00
0,00
VRP
6

7.

Наиболее распространенный случай истинной
гетероскедастичности: дисперсия растет с
ростом одного из факторов.

8. ПОСЛЕДСТВИЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

1. Обычная МНК оценка несмещенная
состоятельная, но неэффективная.
2. Стандартные ошибки коэффициентов
(вычисленные в предположении.
гомоскедастичности) будут занижены. Это приведет
к завышению t-статистик и даст
неправильное (завышенное) представление о
точности оценок.
8

9. ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

1.
Визуальный метод.
Диаграмма рассеяния
Y
Y
X
Гомоскедастичность
X
Гетероскедастичность
9

10. ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

1.
Визуальный метод.
Графики остатков после построения оценок по
методу МНК
e
e
X или Y
Гомоскедастичность
X или Y
Гетероскедастичность
10

11.

ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ
5E5
5,5578E5
4E5
3E5
e
INV
2E5
2,2503E5
1,5894E5
1E5
0
1,0411E5
-1E5
47208
481
-2E5
42728,4
1,6877E5
1,0377E5
-3E5
4,9319E5
2,8986E5
7,8243E5
VRP
42728,4
1,6877E5
1,0377E5
4,9319E5
2,8986E5
7,8243E5
VRP
19

12. ОБНАРУЖЕНИЕ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

Тесты:
1. Тест ранговой корреляции Спирмена.
2. Тест Глейзера.
3. Тест Голдфелда-Квандта.
4. Тест Уайта.
В специализированных эконометрических пакетах эти тесты есть
12

13. Устранение ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТИ

Использовать обобщенный метод
наименьших квадратов
В этом методе предполагается, что
стандартное отклонение остатков
пропорционально одной из объясняющих
переменных
Например,
INVi a1VRPi a2 i , i 1, n
D i
2
i
i k VRPi , i 1, n
13

14. Устранение гетероскедастичности пример

INVi a1 VRPi a2 i , i 1, n
Делим уравнение на ВРП
INVi
i
1
a1 a2
, i 1, n
VRPi
VRPi VRPi

15. Устранение гетероскедастичности пример

INVi
i
1
a1 a2
, i 1, n
VRPi
VRPi VRPi
Создаем новые переменные
INV
1
,
VRP VRP
Регион
Белгородская область
VRP
INV
INV/VRP
1/VRP
119673,20
48422
0,40
8,36E-06
Брянская область
61888,30
10973
0,18
1,62E-05
Владимирская область
76328,10
20292
0,27
1,31E-05
Воронежская область
70849,40
36265
0,51
1,41E-05
Ивановская область
47949,80
14652
0,31
2,09E-05
Калужская область
83817,40
16268
0,19
1,19E-05

16. Устранение гетероскедастичности пример

INVi
i
1
a1 a2
, i 1, n
VRPi
VRPi VRPi
Коэффициент
ы
Стандартная
ошибка
t-статистика
Y-пересечение
0,491025
0,0864
5,683151
2,13E-07
1/VRP
-11337,2
7354,391
-1,54156
0,127178
INV
1
0,5 11,337
,
VRP
VRP
INV 0,5 VRP 11,337
P-Значение

17. Устранение гетероскедастичности пример

INVi
i
1
a1 a2
, i 1, n
VRPi
VRPi VRPi
Остатки
1,5
1
0,5
e
Остатки
0
-0,5 0
5E-06
0,00001 1,5E-05 0,00002 2,5E-05
-1
1/VRP

18. Гетероскедастичность как результат неправильной спецификации модели (ложная гетероскедастичность).

1) В модель не включен фактор, существенно влияющий на объясняемую
переменную.
Пример. Предполагается, что имеется зависимость импорта M от ВВП
страны (GDP) и отношение отечественных цен к мировым (PR).
M i a1 GDPi a2 PRi a3 i
Исследователь рассчитывает сокращенный вариант модели:
M i a2 PRi a3 i
Остатки в такой модели покажут на гетероскедастичность, так как будут
зависеть от GDP
i a1 GDPi i

19. Гетероскедастичность как результат неправильной спецификации модели (ложная гетероскедастичность).

2) Неправильно выбрана функциональная форма
модели.
Scatterplot (Spreadsheet1 10v*119c)
y = -2554,0902+132,073*x
35000
30000
25000
y
20000
15000
10000
5000
0
-5000
-20
0
20
40
60
x
80
100
120
140

20. Гетероскедастичность как результат неправильной спецификации модели (ложная гетероскедастичность).

2) Неправильно выбрана функциональная форма
модели.
Прологарифмируем данные и построим модель в логарифмах
Scatterplot (Spreadsheet1 10v*119c)
12
10
8
ln(y)
6
4
2
0
-2
-1
0
1
2
ln(x)
3
4
5