Теория комплексных чисел. Показательная форма комплексного числа. (Тема 4)

1. Теория комплексных чисел

2. Показательная форма комплексного числа

Если комплексному числу z r (cos i sin )
модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное
выражение еi ,то получим соотношение
cos i sin ei
которое называется формулой Эйлера
z re
i
показательная форма

3. 1. Записать число в показательной форме:

3 1
z
i
8
8
1. Записать число
показательной форме:
в
2
2
3
1
8 8
r z
у
0
1
8
3
8
х
3
1
1
64 64
4
a
3 1 4 3
3
cos
:
r
8 4
8
2 11
6
b
1 1
4
1
sin :
r
8 4
8
2
3 1
1
z
i e
8
8
4
11
i
6

4. 2. Записать число в алгебраической форме:

2. Записать число
z 2e
алгебраической форме:
z 2e
7
i
3
7
7
2 cos
i sin
3
3
7
i
3
в
7
7
i sin
2 cos
3
3
2 cos 2 i sin 2 2 cos i sin
3
3
3
3
1
3
1 3 i
2 i
2
2
z 2e
7
i
3
1 3 i

5. Действия над комплексными числами в показательной форме

• Пусть
z1 r1ei 1
z2 r2e
i 2
z1 z 2 r1r2 e i 1 2
z1 r1 i 1 2
e
z 2 r2
n i n
z r e
n
n
z
n
re
i
n
re
i 2 k
n
,k
0 ,1,..., n 1

6. Доказательства

z1 r1ei 1
• Пусть
z2 r2e 2
z1z2 r1r2 ei 1 ei 2 r1r2ei 1 i 2 r1r2ei 1 2
i 1
z1 r1 e
r1 i 1 i 2 r1 i 1 2
e
e
i 2
z2 r2 e
r2
r2
z re
n
i n
r n ei n

7. 3. Найти произведение и частное комплексных чисел:

3. Найти произведение и частное
чисел:
4
i
i
3 3
z1 e
2
u
3
z1 z2 2 e
2
z1 3 1
e
z2 2 2
4
3 5
z2 2 e 5
i
4
i
3 5
3e
17
i
15
7
3 15 i
e
4
комплексных

8. 4. Представить в показательной форме комплексное число:

3 i cos i sin
12
12
z
1 i

9.

• Пусть
z1 3 i
z 2 cos
12
i sin
12
z3 1 i
Запишем каждое из чисел в показательной форме.
z2 cos
12
i sin
cos i sin e
12
12
12
12
i

10.

z1 3 i
r z
3 1
2
2
у
1
3
0
х
3 1 2
a 3
cos
r
2 5
6
b 1
sin
r 2
z1 3 i 2 e
5
i
6

11.

z3 1 i
r z 12 1 2
2
у
1
0
х
a
1
cos
r
7
2
b 1
4
sin
r
2
-1
z 1 i 2 e
7
i
4

12.

5
i
i
3 i cos i sin
12
12 2 e 6 e 12
z
7
i
1 i
4
2e
2e
5 7
i
6 12 4
2e
12
i
12
2e
i
или
2 e i

13. 5. Представить в показательной форме комплексное число:

z 1 i
5

14.

Пусть
z1 1 i
r z1
1
2
12 2
a 1
cos
r
3
2
b
1
4
sin
r
2
у
1
-1
0
х
z1 1 i 2 e
3
i
4

15.

5
z 1 i 2 e
3
i
4
5
2 e
5
3
5 i
4
4 2e
15
i
4

16. 6. Записать все значения корня в показательной форме.

6. Записать все значения корня 4 3 i
показательной форме.
n
i
z re r e
n
n
i 2 k
n
в
, k 0,1,..., n 1

17.

4
z 3 i
Пусть
3 i
Запишем данное число в показательной форме:
3 1
2
r z
у
1
0
х
2
3 1 2
a
3
cos
r
2
6
b 1
sin
r 2
3
z 3 i 2 e
6
i

18.

4
3 i 2e
4
6
i
2e
4
6
2 k
4
i
4 2e
k 0 : u0 2 e
4
k 1 : u1 4 2 e
24
k
i
24 2
i
13
i
24
k 2 : u2 4 2 e
k 3 : u3 4 2 e
25
i
24
37
i
24
, k 0,1,2,3

19. Пусть тогда

e i cos i sin
e
i
cos i sin cos i sin
ei e i
i
e cos i sin cos
2
i
i
i
e
e
e cos i sin sin
2i
Формулами пользуются, в частности, для выражения
степеней cosφ и sinφ и их произведений через cos и sin
кратных дуг.

20. 5. Показать, что

ei e i
ei e i
cos
; sin
2
2i
5. Показать, что
1
cos 1 cos 2
2
2
i
e e
cos 2
2
i
2
1
e 2 i 2 e 2 i
4
1
cos 2 i sin 2 2 cos 2 i sin 2
4
1
2 cos 2 2 1 1 cos 2
4
2

21. 6. Показать, что

1
1
6. Показать, что cos sin cos 4
8
8
2
2
2
2
i
i
i
i
e
e
e
e
2
2
cos sin
2
2i
e 2i 2ei e i e 2i e 2i 2ei e i e 2i
2
4
4i
1 2 i
e 2 e 2i e 2i 2 e 2i
16
1 2i
1 4i
2i 2
e e
22
e 2 e 4i 4
16
16
1 4i
1
e 2 e 4i cos 4 i sin 4 2 cos 4 i sin 4
16
16
1
1
1
2 cos 4 2 cos 4
16
8
8

22. 7. Записать число в тригонометрической форме.

x yi
7. Записать число e
в
тригонометрической форме.
e
x yi
e e e cos y i sin y
x
yi
x
комплексная степень числа е
Для степени е с комплексным показателем сохраняются все
свойства степеней с действительными показателями.