Ряды динамики (тема 1.8)

1.

ТЕМА 1.8 «РЯДЫ ДИНАМИКИ»
(4 ЧАСА)
1. Ряды динамики. Их виды.
2. Показатели динамических рядов.
3. Исчисление среднего уровня в рядах динамики.
4. Методы выравнивания динамических рядов.

2.

«1»
Одной из задач статистики является изучение явлений во времени. Эта задача
решается при помощи построения и анализа рядов динамики.
Например: изменение уровня заработной платы; колебания курса доллара;
изменение объёмов производства продукции; изменение численности работников
и т.п.
Ряд динамики – это ряд чисел, характеризующих развитие изучаемого явления
во времени.
Временные показатели, их которых состоит динамический ряд, называются
уровнями динамического ряда (У).
Например:
Годы
2011
2012
2013
2014
Среднегодовая численность
работников, чел. (У)
125
132
138
135
Кварталы
I
II
III
IV
Месяцы
Производство хлеба, т (У)
январь
126
февраль
132
март
138
апрель
146
Объём продаж, тыс.руб.
12800
14600
15300
13500

3.

Ряды динамики
Моментный ряд – это ряд чисел,
характеризующих изменение
явления на определённый момент
времени.
С равными
интервалами
Дата
Курс $
на 1.01.
67,83
Интервальный (периодический) ряд –
показывает изменение показателя за
определённые промежутки времени
(месяц, квартал, год).
С неравными
интервалами
на 1.02.
68,92
Квартал
I
II
III
IV
на 1.03.
71.15
Дата
Поголовье коров, гол.
на 1.01.
165
Производство
молока, т
22
36
48
28
на 10.01.
172
на 15.01.
178

4.

Уровни динамического ряда могут быть представлены:
Абсолютными
величинами *
Квартал
I
II
III
IV
Производство
молока, т
22
36
48
28
* можно суммировать
Квартал
I
II
III
IV
Итого:
Производство
молока, т
22
36
48
28
134
Относительными
величинами
Годы
2012
2013
2014
2015
Средними
величинами
Урожайность
зерновых, ц/га
22,6
24,5
18,3
19,6
Месяцы
январь
февраль
март
апрель
Средняя зарплата 1
работника, руб.
15200
16100
18400
19200
С нарастающими (накопленными) итогами с
начала периода
Квартал
I
II
III
IV
Производство молока, т
за квартал
с начала года
22
22
36
58
48
106
28
134

5.

«2»
Для характеристики динамических рядов используют следующие показатели:
абсолютный прирост (А)
темп роста (Т)
темп прироста (Т∆)
_
средний абсолютный прирост (А∆)
_
средний темп роста (Т)
_
средний темп прироста (Т∆)
абсолютное значение 1% прироста (а)
коэффициент опережения (Коп)
Способы сравнения уровней ряда:
Базисный - каждый последующий
уровень ряда сравнивается с
базисным (первоначальным)
уровнем
Цепной - каждый
последующий уровень ряда
сравнивается с предыдущим

6.

Базисный способ сравнения:
У0
2012г.
У1
2013г.
У2
2014г.
У3
2015г.
Цепной способ сравнения:
У0
У1
У2
У3
2012г.
2013г.
2014г.
2015г.

7.

Абсолютный прирост – это разность между двумя уровнями динамического ряда.
Единицы измерения те же, что и у показателя.
Может быть положительным или отрицательным.
Абаз.= Уn – У0 ;
Ацепн. = Уn – Уn-1 ,
где
У0 – начальный (базисный) уровень ряда
Уn – последующий уровень ряда
Уn-1 – предыдущий уровень ряда
Пример:
Годы
2011
2012
2013
2014
Число
студентов,
чел.
620
740
860
930
Абсолютный прирост, чел. (+,-)
базисный
цепной
+120
+240
+310
+120
+120
+70
Вывод: Число студентов в 2014г. по сравнению с 2011г. увеличилось на 310 чел., а
по сравнению с 2013 г. – на 70 чел.

8.

Темп роста – это отношение двух уровней динамического ряда.
Измеряется в процентах или коэффициентах.
Показывает, насколько процентов или во сколько раз один уровень ряда больше
или меньше другого.
Уn
Уn
Тбаз.= ----- * 100% ; Тцепн. = ------ * 100%
У0
Уn-1
Темп прироста - это разница между темпом роста и 100%.
Выражается в процентах.
Может быть положительный (означает прирост показателя) или отрицательный
(снижение показателя).
Т∆ = Т – 100%
Например:
Годы
Число
Темп роста, %
Темп прироста, %
2011
2012
2013
2014
студентов, чел.
620
740
860
930
базисный
100
119
139
150
цепной
100
119
116
108
базисный
+19
+39
+50
цепной
+19
+16
+8
Вывод: Число студентов в 2014г. по сравнению с 2011г. увеличилось на 50% (или в 1,5
раза), а по сравнению с 2013г. – на 8%.

9.

Средний абсолютный прирост – определяется по формуле:
_
У n – У0
А∆ = ----------n – 1 , где
Уn – конечный уровень ряда
У0 – начальный (базисный) уровень ряда
n - число периодов
Измеряется в тех же единицах, что и показатель.
Может быть положительным или отрицательным.
Показывает среднюю (общую) тенденцию (тренд) в рядах динамики.
_ 930 - 620
В нашем примере : А∆ = ------------ = 103 чел.
4–1
Вывод: Ежегодно число студентов в среднем увеличивается на 103 чел.
Например:
Месяцы
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Производство
молока, т
108
102
96
90
84
_
84 - 108
А∆ = ------------ = - 6 (т)
5–1
Вывод: Ежемесячно производство молока в
среднем сокращается на 6т.

10.

Средний темп (коэффициент) роста – определяется по формуле средней
геометрической:
_ n-1 Уn
Т = √ ----- * 100%
У0 , где
Уn – конечный уровень ряда
У0 – начальный уровень ряда
n – число периодов
_
_
Средний темп прироста: Т∆ = Т – 100%
Например :
Месяцы
Средняя зарплата 1
работника , руб.
1
6500
2
7800
3
8400
_ n-1 Уn
Т = √ ----- * 100% = √ 8400 / 6500 *100%= 113,7%
_ _ У0
Т∆ = Т – 100%= 113,7 – 100 = 13,7%
Вывод: Ежемесячно средняя зарплата 1 работника увеличивается на
13,7%

11.

Абсолютное значение 1% прироста – это отношение абсолютного прироста к темпу
прироста за тот же период:
А
а = ---Т∆
Абсолютное значение 1% прироста можно рассчитать делением предыдущего уровня
ряда на 100.
Измеряется в тех же единицах, что и сам показатель.
При сопоставлении динамики двух явлений используется коэффициент опережения.
Коэффициент опережения – это отношение темпов роста или темпов прироста по
двум динамическим рядам за один и тот же период времени.
Т'
Т'∆
Коп.= ----или Коп.= ---Т''
Т''∆
Например: Можно сопоставить темпы роста цен и зарплаты: цены возросли на 17%, а
зарплата выросла на 6%, тогда:
117
Коп.= ----- = 1,1
106
Вывод: Рост цен опережает рост зарплаты в 1,1 раза или на 10%.

12.

«3»
Средний уровень ряда определяется по разному для моментных и интервальных рядов.
в моментном ряду с равными интервалами – по средней хронологической простой:
Например:
Дата
1.01.
1.02.
1.03.
1.04.
Поголовье коров, гол.
800
810
818
822
_ ½х1+ х2 +х3 + …+½хn
½∙800+810+818+½∙822
х =----------------------------- =------------------------------ = 813 гол.
n–1
4–1
Вывод: Среднемесячное поголовье коров – 813 гол.
в моментном ряду с разными интервалами используется средняя хронологическая
взвешенная:
_ ( х1+х2)f1 + (х2+х3)f2 +…+(хn-1 +хn)fn-1
Х = ----------------------------------------------2∑f
, где f – промежуток времени между датами
Например:
Дата
Численность работников, чел.
1.01.14
180
1.03.14 1.06.14
195
189
1.09.14
160
1.01.15
175
_ (180+195)∙2 + (195+189)∙3 + (189+160)∙3 + (160+175)∙4
х = ---------------------------------------------------------------------------- = 179 (чел.) – среднегодовая численность
2∙( 2+3+3+4 )
работников

13.

в интервальном (периодическом) ряду с равными интервалами времени
используется средняя арифметическая простая:
Например:
Годы
2010
2011
2012
2013
2014
Валовый сбор зерна, т
148
152
136
161
178
_ ∑х 148+152+136+161+178
х = ---- = ----------------------------------- = 155 т – среднегодовой валовый сбор зерна
n
5
в интервальном (периодическом) ряду с разными интервалами используется
средняя арифметическая взвешенная:
Например:
Месяцы
Выпуск продукции, шт.
1
4
9
12
_
1030
1500
1620
1260
∑х∙f 1030∙3 + 1500∙5 + 1620∙3 + 1260∙1
х = ------- = ------------------------------------------------ = 1393 шт. – среднегодовой выпуск продукции
∑f
3+5+3+1

14.

«4»
Важной задачей, возникающей при анализе динамических рядов, является
определение основной тенденции (тренда) в развитии изучаемого явления.
Для характеристики тенденции производят выравнивание (сглаживание)
динамического ряда разными способами:
1. Метод укрупнения интервалов;
Например: месяцы объединяют в кварталы, кварталы – в полугодия, а полугодия – в
год и т.п.
При этом значения уровней ряда могут быть просуммированы * или представлять
средние значения**.
Например:
Месяцы
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Производство
хлеба, т
122
134
143
151
156
164
Квартал
Производство
хлеба, т
I
399 * (133)**
II
471* (157)**
2. Метод скользящей средней;
х1+х2+х3
х2+х3+х4
х3+х4+х5
----------- ; ----------- ; ------------ и т.д. до конца ряда
3
3
3

15.

Например:
Месяцы
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Производство
хлеба, т
122
134
143
151
156
164
Период
}
}
}
}
Производство хлеба,
т
399 (133)
428 (143)
450 (150)
471 (157)
-
Вывод: Ежемесячно производство хлеба увеличивается.
3. Выравнивание по среднему абсолютному приросту (используется для прогноза на
будущий период):
_
Увыравн.= У0 + А∆∙ t , где
У0 - начальный уровень ряда
t - порядковый номер периода, начиная с ноля
_
А∆ - средний абсолютный прирост
Увыравн. – выравненное значение уровня ряда

16.

Например:
Месяцы
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль (прогноз)
Производство
хлеба, т (У)
122
134
143
151
156
164
?
Выравненный ряд
(У выравн.)
122,0
130,4
138,8
147,2
155,6
164,0
172,4
_
А = (Уn –Уо) / n – 1 = (164 – 122) / (6-1) = 8,4 т - тренд (средняя тенденция)
Вывод: Ежемесячно производство хлеба в среднем увеличивается на 8,4 т.
_
Увыравн.= У0 + А∆∙ t = 122 + 8,4*6 = 172,4 (т)
Вывод: С учётом сложившегося тренда (тенденции) можно предположить, что объём
производства хлеба в июле составит 172, 4 т.

17.

4. Выравнивание по среднему темпу роста:
_
Увыравн. = У0 ∙ Т t , где
У0 – начальный уровень ряда
t – порядковый номер периода, начиная с ноля
_
Т – средний темп роста
Увыравн. – выравненное значение уровня ряда
Например:
Месяцы
Январь
Февраль
Март
Апрель (прогноз)
Производство
хлеба, т (У)
122
134
143
?
Выравненный ряд
(У выравн.)
122,0
131,8
142,3
153,7
_ n-1
3-1
Т = √ Уn /Уо = √ 143 /122 = 1,08 – тренд (средняя тенденция)
Вывод: Ежемесячно производство хлеба в среднем увеличивается на 8%.
_
Увыравн. = У0 ∙ Т t = 122 * (1,08)3 = 153,7 (т)
Вывод: С учётом сложившегося тренда можно предположить, что объём
производства хлеба в апреле составит 153, 7 т.

18.

5. Выравнивание по математическому уравнению (прямой, гиперболы, параболы и
т.д.) – это наиболее совершенный способ:
у = а +в х ; у = а + в ∙1/х ,
где Х - порядковый номер периода, У – уровень динамического ряда.
Уравнение считается решённым, если найдены параметры «а» и «в».
Выравнивание способами №№ 3, 4 и 5 используется для экстраполяции.
Экстраполяция - это продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.
Рассмотрим использование методов выравнивания на конкретном примере:
Таблица 1
Динамика валового производства молока в ООО «Рассвет»
Месяцы
Уровень
ряда, т (у)
Метод укрупнения
интервалов
период
n=3
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Итого :
32
33
34
35
37
40
211
} Iквартал
Выравнен
ный ряд
99 (33,0)
Способ скользящей
средней
период n=3
}
}
}
}IIквартал
112 (37,3)
х
х
}
х
Выравнивание по уравнению
прямой: у = а + вх
Выравнен
ный ряд
порядковый №
месяца (х)
х∙у
х2
33,0
34,0
35,3
37,3
х
1
2
3
4
5
6
21
32
66
102
140
185
240
765
1
4
9
16
25
36
91

19.

∑у = nа + в∑х
∑ху = а∑х + в∑х2
211= 6а + 21в | : 6
765= 21а + 91в | : 21
35,2 = а + 3,5в
35,2 = а + 3,5∙1,5
- 36,4 = а + 4,3в
35,2 = а + 5,3
- 1,2 = - 0,8в
а = 29,9
в = 1,5
у = 29,9 + 1,5 х - тренд
валовое производство
молока, т
Вывод: Ежемесячно валовое производство молока увеличивается в среднем на 1,5 т.
С учётом сложившегося тренда можно предположить, что объём производства молока в июле
составит: 40,4 т ( у = 29,9 + 1,5*7).
y = 29,9 + 1,5x
месяцы
________ фактический ряд
________ выравненный ряд по уравнению у = 29,9 + 1,5х
Рис. Динамика валового производства молока в ООО «Рассвет»