Методы и приемы решения ЕГЭ заданий типа С6 по математике. Методические рекомендации

1.

Методы и приемы решения
ЕГЭ заданий типа С6 по
математике
методические рекомендации

2.

Виды заданий типа С6
Последовательности целых чисел
Последовательности натуральных чисел
Среднее арифметическое
Понятие многозначных чисел
Арифметическая прогрессия
Задания – игры

3.

Последовательности целых чисел
Приемы
Решение
Пример

4.

Используемые приемы
• Прямого перебора
• Использование формул
• Восстановление последовательностей

5.

Решение
а) Если в наборе больше отрицательных чисел, то точно одним из чисел будет
наибольшее положительное т.е. в данном случае это число 6, а остальные 2 числа
(т.к. для последовательности состоящей из 7 различных чисел нужно подобрать 3
числа) будет такие 2 числа которые в сумме дадут наименьшее отрицательное. -11=7+(-4), следовательно 2 наших числа это -7,-4,6
б) Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть
задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма
некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого
количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два
различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три
различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух
(задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел)
совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по
модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх
различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.
Предположим что таких чисел должно быть 5, исходя из вышеприведённых
размышлений получаем набор чисел -2,-1,1,2,3
в) Для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же
набор.

6.

Пример для самостоятельного решения

7.

Последовательности натуральных чисел
Задание С6
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти
числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в
порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску,
повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а
остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3,
4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан
набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске
будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет
записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
Приемы
Решение
Пример

8.

Используемые приемы
• Прямого перебора
• Использование формул
• Восстановление последовательностей
• Метод от противного

9.

Решение
а)Если нам нужно привести пример последовательности которая будет
являться арифметической прогрессией, то это точно будет разность
арифметической прогрессии.
В нашем случае это число 2 , а их количество будет ровняться количеству
членов последовательности, т.е. их 5,тогда получаем 2,2,2,2,2
б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе
— это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе —
это сумма всех задуманных чисел т.е. для того что бы получить такую
последовательность точно должно быть число 1 и сумма всех чисел ровна 22
получается что должно быть ещё число 22-1=21 его нет следовательно такой
последовательности не существует.
в)Из пункта а одно из чисел точно 7 так как нет 1 то ещё число 8, а так же
нет 3 и 2 по этому число 10. Количество чисел не превышает целой части
отношения 1-го и последнего числа последовательности. 41/7≈5,9 целая
часть равна 5.
1ую последовательность получаем 7, 8, 8, 8, 10 из неё можно получить ещё
одну превратив 2 восьмёрки в их сумму 16 - 7, 8, 10, 16.

10.

Пример для самостоятельного решения
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти
числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в
порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется
несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа,
равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет
записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет
записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан
набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

11.

Среднее арифметическое
Задание С6
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех
положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или
отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть
среди них?
Приемы
Решение
Пример

12.

Используемые приемы
• Использование неравенств
• Использование признаков делимости
• Выделение целой части

13.

Решение
а) Обозначим число положительных чисел k l- отрицательных m- нулей. Сумма
набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее
арифметическое, поэтому
Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое
делится на 4, поэтому
- количество целых чисел – делится на 4. По
условию
б) Приведем равенство
Получаем, что
откуда
больше, чем положительных.
в) Подставим
Получаем:
к виду
Так как
Следовательно, отрицательных чисел
в правую часть равенства
откуда
Так как
то есть положительных чисел не более 19.

14.

.
Пример для самостоятельного решения
На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое
этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14,
а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно – 7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

15.

Понятие многозначных чисел
Задание С6
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с
нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное
данного числа и суммы его цифр?
Приемы
Решение
Пример

16.

Используемые приемы
• Использование признаков делимости

17.

Решение
Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен,
десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его
цифр равно к, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.
а) Если частное равно 12, то 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c; 88а = 2b +
11c, что верно, например, при b = 0, a = 1, c = 8: частное числа 108 и суммы
его цифр равно 12.
б) Если частное равно 87, то 100a + 10b + c = 87a + 87b + 87c. Но ни 77, ни
86 не делится на 13. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр
не может быть равным 87.
в) 100a + 10b + c-(a+b+c)
99a+9b
11a+b
наименьшая полученная сумма может ровняться 11 т.к. а не может
ровняться нулю по условию.

18.

.
Пример для самостоятельного решения
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного
числа и суммы его цифр?

19.

Арифметическая прогрессия
Задание С6
Даны n различных натуральных чисел, составляющих
арифметическую прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел
меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел
равна 129.
Приемы
Решение
Пример

20.

Используемые приемы
• Прямого перебора
• Использование неравенств
• Выделение целой части
• Использование формул
• Восстановление последовательностей

21.

Решение
Без ограничения общности можно считать, что числа составляют
возрастающую арифметическую прогрессию . Обозначим - первый
член этой прогрессии, а её разность. Тогда сумма её членов равна
Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство
а) Числа 1, 2, 3, 4 составляют арифметическую прогрессию, а их сумма
равна 10.
б)
Значит,
откуда находим
в) Для суммы членов арифметической прогрессии верно:
признаки делимости левая часть делиться на n правая тоже делиться на n
простыми делителями 258 являются 2, 3, 43. n не может быть 2
следовательно 3, 6

22.

Пример для самостоятельного решения
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую
прогрессию
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел
меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел
равна 123.

23.

Задания - игры
Задание С6
Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записываю на 8
карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых
сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8,
9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные
восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в
результате получиться?
Методы
Решение
Пример

24.

Используемые приемы
• Признаки делимости

25.

Решение
а) Среди восьми данных чисел нет противоположных. Значит, сумма
чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не
может равняться нулю.
б) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, на какой-то
карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё
произведение чётно и не может равняться 1.
в) Среди восьми данных чисел пять нечётных. Значит, хотя бы на двух
карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на
каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.
Наименьшее целое положительное число, делящееся на 4, это 4. Оно
получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2); (-2;
1); (-3; 4); (4; -3); (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8).

26.

Пример для самостоятельного решения
Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел -1, 2,
3, -4, 5, -7, 8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых
сторонах заново пишут по одному каждое из чисел -1, 2, 3, -4, 5, -7, 8.
После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь
сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате
получиться?

27.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ