НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ТЕМА 6

1.

ТЕМА 6.
НОРМИРОВАННЫЕ
ПРОСТРАНСТВА

2.

6.1. Понятие о нормированных пространствах
Среди топологических линейных пространств наиболее
важный для приложений класс образуют нормированные
пространства. Теория этих пространств была развита в работах
польского математика С. Банаха и ряда других авторов. Линейное
пространство L называется нормированным, если каждому
элементу x ϵ L поставлено в соответствие действительное число,
называемое нормой элемента, обозначаемое ‖x‖ и удовлетворяющее
следующим условиям (аксиомам нормы):

3.

Пространство L называется строго нормированным, если в
нѐм равенство
при x ≠ 0, y ≠ 0 возможно только для y =x λ , где λ >0 . В
нормированном пространстве можно ввести расстояние между
любыми двумя его элементами x и y по формуле
(это норма разности элементов).
Нетрудно убедиться, что функция (6.1) удовлетворяет
аксиомам метрики. Таким образом, любое нормированное
пространство является метрическим.
Важно подчеркнуть, что не каждое метрическое
пространство может быть нормированным с нормой,
согласованной с метрикой.
Очевидно, что так метрика, определенная по формуле (6.1),
сохраняется при сдвигах, т.е. выполняется свойство

4.

Следует иметь в виду, что не всякая метрика в линейном
пространстве, обладающая этим свойством, порождается
некоторой нормой. Так, на линейном пространстве можно
определить дискретную метрику, расстояние сохраняется при
сдвигах, но никакой нормой она не порождается.
Почти все примеры метрических пространств,
рассмотренные нами ранее, в действительности являются
линейными нормированными пространствами.
Пример 1. Определить, задаёт ли функция x f (x) норму на
числовой прямой, если:
Решение.
а) Нет, не задает, т.к. не выполняется вторая аксиома нормы.