Метрические пространства. Тема 5

1.

ТЕМА 5. МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА

2.

5.1. Понятие о метрических пространствах
Пусть X – произвольное непустое множество, а :
ρ: X× X→ R
– отображение декартова произведения X ×X в множество R
вещественных чисел.
Отображение ρ называется метрикой на X, если оно
удовлетворяет следующим условиям (аксиомам метрики):
1) ρ( x ,y)≥0, при этом ρ(x ,y)=0 тогда и только тогда, когда x =y
(аксиома тождества);
2) Ρ(x ,y)= (y ,x) для любых x, y ϵ X , (аксиома симметрии);
3) ρ(x, y)≤ρ( x ,z )+ρ(z ,y ) для любых x ,y, zϵ X , (аксиома
треугольника)

3.

Аксиома треугольника обобщает известное правило: сумма длин
двух сторон треугольника не меньше третьей.
При этом множество X, рассматриваемое вместе с заданной на
нем метрикой ρ , называется метрическим пространством, элементы
x y z , , , ... множества X – точками этого пространства, а число ρ( x
,y), – расстоянием между точками x и y.
Поскольку в одном и том же множестве X часто можно
задавать разные метрики ρ , то, чтобы различать получающиеся при
этом пространства, иногда вводят обозначение (X,ρ)
В случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, пространство
(X,ρ) обозначается просто X.
Отметим, что всякое множество Y из метрического
пространства X, рассматриваемое с тем же расстоянием между
элементами, что и в X, также является метрическим пространством.
Оно называется подпространством пространства X.

4.

Замечание. В самом общем определении метрического
пространства расстояние между элементами набора может
быть отрицательным. Это используется в теории
относительности.
Пример 1. Каким условиям должна удовлетворять определенная
на R непрерывная функция u= f (v ), чтобы на вещественной
прямой можно было задать метрику с помощью равенства:
Ответ. Функция u= f (v ) должна быть монотонной.

5.

5.2. Примеры метрических пространств
Рассмотрим некоторые примеры метрических пространств,
справедливость сформулированных аксиом для которых легко проверяется.
1)Пусть X =Q – множество рациональных чисел, а метрика
Тогда аксиомы 1) – 3) сразу следуют из свойств рациональных дробей и
определения модуля числа, изученных в рамках школьной программы.
2) Пусть X =R – множество действительных чисел, а метрика
Тогда аксиомы 1) – 3) сразу следуют из определения действительных
чисел и определения модуля числа, изученных в рамках школьной
программы.
3) Пространство изолированных точек (или дискретное метрическое
пространство) – это произвольное множество, для которого

6.

Для того, чтобы привести другие примеры, нам потребуется
следующая лемма.
Лемма (неравенство Коши-Буняковского). Для любых
элементов nмерного пространства