Теория множеств. (Лекция 5)

1. Введение в теорию множеств

2. Георг Кантор

(03.03.1845 - 06.01.1918)
немецкий математик.

3. Бертран Расселл

Понятие множества
• Под «множеством» мы понимаем соединение в некое
целое M определённых хорошо различимых
предметов m нашего созерцания или нашего
мышления (которые будут называться «элементами»
множества M).
(Г. Кантор).
• Множество есть совокупность различных
элементов, мыслимая как единое целое.
(Б. Расселл)
• Каждый сам знает, что он понимает под множеством.
(Э. Борель)

4. Феликс Эдуард Жустин Эмиль Борель

Введение в теорию множеств
1. Основные определения, терминология
Под
множеством А мы понимаем совокупность объектов
произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х).
Обозначение
1)
Указанием определяющего свойства
A x P x
2)
Перечислением элементов
A x , x ,..., x
1
Пример 1
2
n
B x x2 2x 3 0
B 3; 1
Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые
бесконечные множества. Так,
N={1,2,3,...,n,...}
Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

5. Понятие множества

Определение 1
Множество А называется подмножеством В, если для любого
х ( x A x B )
Обозначение:
A B
Теорема 2
Для любых множеств А, В, С верно следующее:
а) A A ;
б) A B и B C A C .

6. Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология

Доказательство
Для доказательства а) надо убедиться в истинности
высказывания x A x A , но оно очевидным образом
истинно, так как представляет собой импликацию, в которой
посылка и заключение совпадают.
Для доказательства б) надо убедится в истинности
высказывания
x A x B x B x C x A x C
Обозначим: " x A " через U, " x B " через V , "x C " через
Z . Тогда надо убедиться в истинности высказывания .
F U V V Z U Z
(U V )(V Z ) U Z U V V Z U Z
UV V Z U Z V U V Z 1

7.

Определение 3
Множества А и В называются равными, если они состоят из
одних и тех же элементов (A=В). Другими словами,
обозначение А=В служит сокращением для высказывания
x A x B
Пример
Указать равные множества
A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0},
E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}.
Теорема 4
Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда
A B
и B A
Доказательство
Доказательство этого факта основано на том, что
эквивалентность X Y равносильна конъюнкции двух
импликаций X Y Y X

8.

Таким образом, для того, чтобы доказать равенство множеств
А и В, надо доказать два включения: A B и B A , что часто
используется для доказательства теоретико-множественных
равенств.
Определение 5
A B тогда и только тогда, когда A B и A B .
Теорема 6
Для любых множеств А, В, С, если A B и B C, то A C
Доказательство
Доказать самостоятельно (5 баллов).
Определение 7
Множество называется пустым, если оно не содержит ни
одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству
(для любого х). Обозначение: .

9.

2. Операции над множествами
Определение 1
Объединением двух множеств А и В называется
множество A B x x A x B
x A B x A x B
A
B
A B
Пусть
Пример
А={1,2,3,4},
B={2,4,6,8},
A B = {1,2,3,4,6,8}.
тогда

10.

Объединение множеств
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда:
а) A A A – идемпотентность объединения;
б) A B B A – коммутативность объединения;
в) A B C A B C
– ассоциативность
объединения;
г) A A ;
д) A B A B

11.

Доказательство
а) Возьмем
x A A x A x A x A
б) Возьмем
x A B x A x B x B
x A x B A
в) Возьмем
x A B C x A B x C
x A x B x C x A x B x C
x A B C

12. Объединение множеств

г)Возьмем
x A x A x x A
так как высказывание x тождественно ложно.
Следовательно A A .
д) Пусть A B то есть, x A B x
.
Значит, высказывание x A B x A x B
является
тождественно
ложным,
, а дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и
только тогда, когда ложны оба эти высказывания.
Следовательно, x A x и x B x
, а значит
A B .

13.

Пересечение множеств
Определение 4
Пересечением множеств А и В называется множество
A B x x A x B
B
A
A B
Пример
Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда
A B = 1,7,8

14.

Пересечение множеств
Теорема 5
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) A A A - идемпотентность пересечения;
б) A B B A - коммутативность пересечения;
в) A B C A B C
- ассоциативность
пересечения;
г) A

15. Пересечение множеств

Объединение и пересечение множеств
Теорема 6
1)
A B A
2)
A A B
3)
A B C A B A C
4) A B C A B A C

16. Пересечение множеств

Разность множеств, дополнение, симметрическая
разность
Определение 1
Разностью множеств A и B называется множество
A \ B x | x A и x B .
B
A
A\ B
Пример
Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10},
B\A={2,5,6}.

17. Объединение и пересечение множеств

Разность множеств
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
1) A \ A
2) A \ B A B
3) A \ B C A \ B \ C
4) A B \ C A \ C B \ C
Теорема 3 (законы Моргана)
а) A \ B C A \ B A \ С
б) A \ B C A \ B A \ С

18.

Множество U назовем "универсальным", если оно
содержит все элементы и все множества являются
его подмножествами. Понятие "универсального
множества" у нас будет зависеть от круга задач,
которые мы рассматриваем. Довольно часто под
универсальным множеством понимают множество
R –– множество вещественных чисел или
множество С – комплексных чисел. Возможны и
другие примеры. Всегда в контексте необходимо
оговорить, что мы понимаем под универсальным
множеством U.

19. Разность множеств

Дополнение множеств
Определение 4
Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U
(или просто дополнением А) называется множество .
A {x | x A}
A
A
Пример
Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных
чисел, то – множество A иррациональных чисел

20.

Дополнение множеств
Теорема 5
1) A A
2) U
3) U
Теорема 6(законы Моргана для дополнений)
а)
б)
A B A B ;
A B A B .

21. Дополнение множеств

Симметрическая разность
• Определение 7
• Симметрической разностью множеств A и B
называют множество
A B A B \ A B
A
B
A B
• Задача (3 балла).
• Доказать, что A B ( A \ B) ( B \ A)