Теория множеств

1.

ТЕОРИЯ
МНОЖЕСТВ

2. Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология

Под
множеством А мы понимаем совокупность объектов
произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х).
Обозначение
1)
Указанием определяющего свойства
A x P x
2)
Перечислением элементов
A x , x ,..., x
1
Пример 1
2
n
B x x2 2x 3 0
B 3; 1
Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые
бесконечные множества. Так,
N={1,2,3,...,n,...}
Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

3.

Следует отметить, что объект а и множество {а} это различные вещи:
первое - это объект, обозначенный через а,
второе-это множество, состоящее из
(единственного) объекта а.
Другая форма обозначения состоит в указании
общего свойства объектов, из которых мы
образуем множество. Оно имеет вид: M={x | P (x) }
Читается: “множество всех х таких, что Р (х)” , где Р
обозначает свойство, характеризующее в
точности все элементы данного множества.
Например
{x | x- целое число, делящееся на 2} - означает
множество четных чисел

4.

Определение 1
Множество А называется подмножеством В, если для любого
х ( x A x B )
Обозначение:
A B
Другими словами, символ " A B " есть сокращение для
высказывания x A x B
Теорема 1
Для любых множеств А, В, С верно следующее:
а) A A ;
б) A B и B C A C .

5.

N Z Q R,
где
N- множество натуральных чисел; Q- множество рациональных чисел;
Z- множество целых чисел;
R- множество действительных чисел
Диаграммы Эйлера. Наглядно указанные зависимости можно
изобразить с помощью так называемых
R
Q
N
кругов Эйлера:
Z

6.

Определение 2
Множества А и В называются равными, если
они состоят из одних и тех же элементов
(A=В). Другими словами, обозначение А=В
служит сокращением для высказывания
x A x B
Пример
Указать равные множества
A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0},
D={{1;2};0}, E={1;2}, F={x:x3-3x2+2x=0}.

7. Равенство множеств

Если А В и В А ,то множества А и В
называют равными и обозначают: А=В.
Даны множества:
А - множество целых чисел;
В - множество четных чисел;
С - множество нечетных чисел;
D - множество чисел, кратных 3;
Е- множество чисел, кратных 6;
Т - множество чисел, оканчивающихся цифрой 0;
К - множество чисел, которые при делении на 8 дают в остатке 5;
F - множество чисел, кратных 2 и 3 одновременно; М - множество
чисел, кратных 2 и 5 одновременно.
Имеются ли среди данных множеств равные множества?

8.

Определение 3
Множество называется пустым, если оно не
содержит ни одного элемента, то есть х не
принадлежит этому множеству (для любого
х). Обозначение: .

9.

2. Операции над множествами
Определение 1
Объединением двух множеств А и В называется
множество A B x x A x B
x A B x A x B
A
B
A B
Пусть
Пример
А={1,2,3,4},
B={2,4,6,8},
A B = {1,2,3,4,6,8}.
тогда

10. Объединение множеств

Теорема 1
Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда:
а) A A A – идемпотентность объединения;
б) A B B A – коммутативность объединения;
в) A B C A B C
– ассоциативность
объединения;
г) A A ;
д) A B A B

11. Пересечение множеств

Определение 2
Пересечением множеств А и В называется множество
A B x x A x B
B
A
A B
Пример
Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда
A B = 1,7,8

12. Пересечение множеств

Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) A A A - идемпотентность пересечения;
б) A B B A - коммутативность пересечения;
в) A B C A B C
- ассоциативность
пересечения;
г) A

13. Объединение и пересечение множеств

Теорема 3
1)
A B A
2)
A A B
3)
A B C A B A C
4) A B C A B A C

14.

Разность множеств, дополнение, симметрическая
разность
Определение 3
Разностью множеств A и B называется множество
A \ B x | x A и x B .
B
A
A\ B
Пример
Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10},
B\A={2,5,6}.

15. Разность множеств

Теорема 4
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
1) A \ A
2) A \ B A B
3) A \ B C A \ B \ C
4) A B \ C A \ C B \ C
Теорема 5 (законы Моргана)
а) A \ B C A \ B A \ B
б) A \ B C A \ B A \ B

16.

Множество U назовем "универсальным", если оно
содержит все элементы и все множества являются
его подмножествами. Понятие "универсального
множества" у нас будет зависеть от круга задач,
которые мы рассматриваем. Довольно часто под
универсальным множеством понимают множество
R –– множество вещественных чисел или
множество С – комплексных чисел. Возможны и
другие примеры. Всегда в контексте необходимо
оговорить, что мы понимаем под универсальным
множеством U.

17. Дополнение множеств

Определение 4
Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U
(или просто дополнением А) называется множество .
A {x | x A}
A
A
Пример
Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных
чисел, то – множество A иррациональных чисел

18. Дополнение множеств

1) A A
2) U
3) U
Законы Моргана для дополнений
а)
б)
A B A B ;
A B A B .

19. Симметрическая разность

• Определение 5
• Симметрической разностью множеств A и B
называют множество
A B A B \ A B
A
B
A B
• Задача (3 балла).
• Доказать, что A B ( A \ B) ( B \ A)

20.

Спасибо за внимание!!!

21. Равна ли часть целому?

Как сравнивать множества
Основная догма, которую необходимо
отбросить: «часть меньше целого»
На длинном и коротком отрезках
точек поровну
О
А
С
В
D
21

22.

Трудно примериться, что дорога в миллион
световых лет имеет столько же точек, сколько
и радиус атомного ядра!
На всей бесконечной прямой не больше точек,
чем на отрезке (т.е. между между точками прямой и отрезка
можно установить взаимнооднозначное соответствие)
О
А
В

23.

Любой отрезок [a, b] , эквивалентен отрезку [0,
1] .
Доказательство.
Искомое взаимно однозначное соответствие
можно установить как аналитически,
например формулой : х [0, 1], у [a, b].
х
у
у =( b - a )x+a.
А также и
геометрически:

24. Тайны бесконечности

Математики и философы всегда интересовались
понятием бесконечности.
Парадоксы бесконечности приучили древних
греков к осторожности
(парадокс Зенона о том, что стрела не может сдвинуться с места, Ахиллес
никогда не догонит черепаху)
Например: Евклид, формулировал свою знаменитую теорему о бесконечности
простых чисел, выражается так: «Простых чисел существует больше
всякого предложенного количества простых чисел», а бесконечно много
или нет – об этом Евклид умалчивает.
Основные заслуги в развитии теории множеств
принадлежат Г. Кантору (родился в 1845 г в
Петербурге, умер в 1918 г в Галле).
Исследования бесконечных множеств потребовало
развития математической логики. Первоначально эта
область математики была очень далека
от практических приложений, но впоследствии её принципы
составили идейную основу конструирования электронных
вычислительных машин и программирования вычислений
24
на этих машинах.

25. Конечные множества

Множество называется конечным ,если оно содержит конечное число
элементов.
Пусть А – конечное множество . Обозначим через m (A)
количество элементов в множестве А.
Для любых конечных множеств А и В справедливо равенство
m (A B)=m( A) +m (B) –m (A B).
Задача.
Всего 30
Лыжи
18
Плавание
16
Не занимаются 10
?
m (L P)=18+16-20=14

26. Задачи

1.
2.
3.
4.
5.
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким
языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским
и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским –
5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Определите разность множеств А и В, разность множеств В и А ,пересечение
множеств и объединение множеств.
А={1,2,3,4,5,6}, В={2,4,6,8,10}.
В классе 32 ученика. 12 учеников занимаются волейболом, 15 –
баскетболом, 8 – и баскетболом, и волейболом. Сколько человек не
занимаются ни тем, на другим?
В третьем классе дети коллекционируют марки и монеты. Марки
коллекционируют 8 человек, монеты – 5 человек. Всего коллекционируют 11
человек. Сколько человек коллекционируют только марки и монеты?
Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов. Оценку ниже 5 баллов
получили 180 человек, а выдержали экзамен 210 абитуриентов. Сколько
человек получили оценку 3 и 4?

27. Задание

1. Найдите объединение и пересечение множеств А и В, если
А={a, b, c, d, e, f}, B={b, e, f, k}.
2. Каждый ребенок в группе изучает английский или французский язык. Английский
язык изучают 25 детей, французский – 27 детей, а тот и другой – 18 человек.
Сколько детей в группе?
3. В группе детского сада 25 детей, среди них 20 детей младше 6 лет и 15 детей
старше 7 лет. может ли быть такое?
4. В группе 25 студентов, из них 19 человек предпочитают волейбол, а 8 человек –
волейбол и баскетбол. Сколько студентов может играть в баскетбол?
5. Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 – в лыжной секции. Сколько
учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе нет учащихся,
не посещающих занятий хора или лыжной секции?
6. В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50,
по информатике – 48. Когда учеников опросили: в скольких участвовали в
школьных олимпиадах, ответ «в двух» дали вдвое меньше, чем «в одной», а «в
трех» втрое меньше, чем «в одной». Сколько всего учеников участвовало в
олимпиадах?