Мера Лебега и измеримые функции. Тема 2

1.

ТЕМА 2. МЕРА ЛЕБЕГА И
ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

2.

К концу XIX в. естественное развитие математического
анализа и других смежных дисциплин привело к необходимости
расширения понятия интеграла. Определение интеграла Римана, как
предела римановых сумм, рассчитано, в первую очередь, на то, чтобы
интегрируемыми оказались все непрерывные или кусочнонепрерывные в замкнутой ограниченной области функции. Хотя
некоторые типы разрывных функций также интегрируемы по
Риману, однако класс их весьма узок. В частности, уже первая
производная непрерывной функции может быть неинтегрируемой.
Таким образом, операция интегрирования не могла полностью
решать задачу восстановления первообразной функции по её
производной. Не менее важно и то, что предел последовательности
интегрируемых функций (даже будучи ограниченным) может уже не
быть интегрируемым.
Эти (и некоторые другие) недостатки классического
определения привели А.Лебега в 1902 году к важному обобщению
понятия интеграла, основанному на разработанной им теории
меры.

3.

При построении интеграла Римана область интегрирования
разбивается на множества сравнительно несложной формы (например, в
одномерном случае промежуток интегрирования разбивается только на
промежутки и используется лишь понятие длины промежутка). Поэтому
возникла необходимость распространить понятие длины промежутка,
площади фигуры и объема тела на множества более сложной природы.
Это и было осуществлено Лебегом в его теории меры.
На базе разработанной теории меры Лебегу удалось дать новое
совершенное и гибкое понятие интеграла. Класс интегрируемых по Лебегу
функций оказался значительно шире, чем интегрируемых по Риману.
Кроме того, интеграл Лебега имеет ряд других замечательных
свойств, отличных от интеграла Римана. Это связано с тем, что он более
гибко приспособлен к операциям предельного перехода. Поэтому в
современных математических исследованиях лебегова конструкция
интеграла вытеснила риманову.
На сегодняшний день понятие меры является одним из основных в
современной анализе и теории вероятностей.

4.

2.1. Мера Лебега на прямой
Вся излагаемая далее теория принадлежит А.Лебегу.
Отправным пунктом этой теории является привлечение в качестве
основного (исходного множества) интервала a b, длина, или мера
которого считается известной.
Мерой Лебега конечного интервала (a, b), a<b называется его
длина, то есть
Заметим, что
Пусть G – ограниченное непустое открытое множество на
прямой. Если G = ∅, по определению полагаем