Уравнение Шредингера

1.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
«Что существует более выдающегося в теоретической физике, чем его первые
шесть работ по волновой механике?» — говорил впоследствии Макс Борн.
Уравнение Шредингера является основным уравнением нерелятивистской
квантовой механики (КМ). Оно не может быть выведено из других соотношений. Это
уравнение является принципом, постулатом. Его следует рассматривать как исходное
основное положение, справедливость которого доказывается тем, что его следствия
самым точным образом согласуются с экспериментальными фактами.
Шредингер установил свое уравнение из оптико-механической аналогии,
заключающейся в сходстве уравнений описывающих распространение световых лучей
с уравнениями, определяющими траектории частиц в аналитической механике.
В оптике Принцип Ферма: «Свет распространяется по такому пути, для
прохождения которого ему требуется минимальное время».
В механике Принцип наименьшего действия (ПНД): Если в моменты времени t1 и t2
система занимала положение, характеризуемое набором координат q(1) и q(2) , то
между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл
( Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger;
1887-1961)
—
австрийский
физиктеоретик; Нобелевская премия по физике
1933 г. (совместно с П. Дираком) «За
открытие новых продуктивных форм
атомной теории».
t2
S L q, q, t dt
t1
имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа системы, а записанный интеграл –
действием. ПНД в механике был получен как результат обобщения экспериментальных фактов и ранее установленных
законов. Для этого надо было найти формулу для действия, для функции Лагранжа. Далее уравнения движения
находятся вариацией действия. Аналогично можно сделать и в КМ.

2.

Как можно прийти к уравнению Шредингера? Рассмотрим одномерный случай, свободно движущуюся частицу с
энергией Е и импульсом р. Согласно идее де Бройля ей можно сопоставить плоскую волну
i
A exp Et px .
E
i ;
t
p
i ;
x
1
E i
;
t
2
p2
2 ;
2
x
p2
E
;
2m
p
2
2
2 1
;
2
x
2
1
1 2
i
;
2
t
2m x
2
2
i
;
t
2m x 2
Уравнение Шредингера для свободной частицы.
Имеет своим решением волну де Бройля
p2
p2
ПОЛАГАЕМ, что в случае силовых полей, когда E
;
E
U ; найденные выражения для энергии и
2m
2m
квадрата импульса также будут справедливы, тогда, подставляя их в
получим

3.

2
1
1 2
i
U;
2
t
2m x
2
2
i
U ;
t
2m x 2
2
i
2 U ;
t
2m
Уравнение Шрёдингера в для точечной частицы массы m, движущейся в поле c потенциальной энергией U (r,t) :
Полученное уравнение моно рассматривать как операторное соотношение. Каждый входящий в него член имеет
физический смысл и математическую природу:
2
U – функция, i
,
2 дифференциальные операторы.
t
2m
Действие указанных операторов на решение уравнения таково, что оно эквивалентно умножению этого решения на
соответствующую физическую величину:
2
2
p2
2
1
2
2 1
;
p
;
E i
;
i
E ;
2
2m
2m
x
t
t
px
i
p x ;
i ;
x
x
По этой причине они называются, соответственно операторами полной энергии, кинетической энергии, импульса.

4.

Функции, удовлетворяющие подобным уравнениям, называются собственными функциями
соответствующих операторов, а численные значения величин, удовлетворяющие уравнениям, называются
собственными значениями операторов.
Нˆ
2
2m
2 U ;
гамильтониан, - оператор полной энергии.
Нˆ E ;
Вообще, в КМ каждой динамической переменной q сопоставляется уравнение аналогичное записанным ранее
уравнениям, в общем случае имеющее вид
Qˆ q .
Решая последнее уравнение, находят его собственные функции 1 , 2 , 3 ,... и собственные значения q1 , q1 , q1 ,...
Согласно одному из постулатов КМ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ q, ПРЕДСТАВЛЯЕМОЙ ОПЕРАТОРОМ
Q, МОГУТ ПОЛУЧАТЬСЯ РЕЗУЛЬТАТЫ ТОЛЬКО СОВПАДАЮЩИЕ С СОБСТВЕННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ ЭТОГО
ОПЕРАТОРА.

5.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Если силовое поле, в котором движется частица не зависит от времени, то функция U имеет смысл потенциальной
энергии. Покажем, что в этом случае
x, y , z , t x, y , z e
E
i t
*
.
Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной. Подставим * в
уравнение Шредингера
2
i
2 U ;
t
2m
E
E
E
2
i t
i t
i t
2
i
x, y , z e
;
x, y , z e
U x, y , z e
t
2m
E
E
E
2 i t
i t
i t
2
i x, y , z e
e x, y , z U x, y , z e
;
t
2m
E
E
2 i E t
i t
i t
E
i i x, y, z e
e 2 x, y, z U x, y , z e
;
2m
2
2m
2 x, y , z U x , y , z E x , y , z ;
2
2m
2
Уравнение Шредингера для стационарных состояний.
E U 0.

6.

УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Рассмотрим некоторую проводящую среду. Проведем в ней замкнутую поверхность. Заряд, выходящий
в единицу времени из объема V, охваченного поверхностью S вычисляется через интеграл
q
jdS ;
t S
q dV ;
*
V
q
jdS dV dV ;
t S
t V
V t
По теореме Гаусса-Остроградского
jdS divjdV ;
S
dV ;
t
V
V
Уравнение непрерывности.
t
V
Уравнение непрерывности как и * выражает закон сохранения заряда, только в дифференциальной форме. Так
как физ. смысл дивергенции вектора – плотность источников векторного поля, то мы приходим к выводу, что
divjdV
divj
плотность источников тока равна скорости убывания плотности заряда в каждой точке пространства.

7.

Ток вероятности
* - плотность вероятности для состояния, описываемого волновой функцией ψ.
2
dV 1.
2
условие нормировки.
V
Если в некотором достаточно большом объеме вероятность оказывается сохраняющейся величиной, то изменение
ее в одной части объема непременно должно сказаться на вероятности обнаружения частицы в других частях объема.
Перераспределение вероятности, как и других сохраняющихся величин, должно обеспечиваться потоком этой
величины, то есть мы приходим к необходимости ввести такое понятие как ток вероятности.
Покажем, что если ψ – решение уравнения Шредингера для данной задачи, то имеет место уравнение для
плотности тока вероятности, аналогичное полученному для плотности тока электрического заряда.
2
i
2 U ;
t
2m