Функции нескольких переменных. Тема 7.7. Производная по направлению

1.

2.

7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
7.1 ФНП и способы её задания
7.2. Предел и непрерывность
7.3. Частные производные 1-го порядка
7.4. Частные и смешанные производные различных порядков
7.5 Экстремум функции двух переменных
7.6 Полное приращение и полный дифференциал
7.7 Производная по направлению
7.8 Градиент
7.9 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

3.

7.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Пусть функция z=f(х,у) определена в некоторой окрестности точки M(x;y);
Пусть задан единичный вектор
s cos ;cos .
z
z f ( x, y )
y
y
M
x
x
M1
s

4.

7.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
M ( x; y )
M 1 ( x x; y y )
s cos ;cos
MM 1 s
x 0
s 0, если
y 0
Обозначим
x y
MM 1 s
s
MM 1 s
s x 2 y 2
2
2
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) – полное приращение функции z в точке М
Производной функции z=f(x,y) в точке М (х;у) по направлению вектора s
называется предел
z
z
lim ,
s s 0 s
если он существует и конечен.
Производная по направлению – это скорость изменения функции z
в точке М по направлению вектора s.

5.

7.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Вывод формулы
Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема в точке М (х;у),
тогда по теореме о необходимом условии дифференцируемости функции
z z x ( M ) x z y ( M ) y x y
где и – бесконечно малые величины при
x 0 и y 0.
Разделим равенство на s :
z
x
y
x
y
z x ( M )
z y ( M )
s
s
s
s
s
Из чертежа следует:
x
cos ,
s
y
cos
s
Заменим и перейдём к пределу при s 0 :
z
cos lim cos
lim
lim z x ( M ) cos lim z y ( M ) cos lim
s 0
s 0
s 0
s 0
s 0 s

6.

7.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Вывод формулы (продолжение)
z
cos lim cos
lim z x ( M ) cos lim z y ( M ) cos lim
s
0
s 0
s
0
s
0
s 0 s
lim
z
M
s
const
const
0
0
z
M z x ( M ) cos z y ( M ) cos
s
Формула для вычисления
производной по направлению

7.

7.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Замечания
1
1) пусть
s i 1;0
2) пусть
s j 0;1
z
z x 1 z y 0 z x
s
z
z x 0 z y 1 z y
s
Частные производные первого порядка функции z являются частными
случаями производной по направлению.
2
Пусть направление задаёт неединичный вектор
Тогда единичный вектор
a a
a x ; y , где
a a
0
a ax ; a y .
a
ax a y .
3
Если поменять направление вектора на противоположное, то
производная по направлению изменит свой знак.
4
Если задана функция
2
u f ( x, y, z ), то
u
M u x (M ) cos u y ( M ) cos u z ( M ) cos .
s
2

8.

7.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Примеры
Вычислить производную по заданному направлению в заданной точке.
1) z x y 5 xy 4, a 1;2 , B 1; 1 .
2
2 2
z x 2 x 2 y 2 2 x 5 y 4 x x 2 y 2 5 y
z x 1; 1 4 1 1 5 13
z y 2 x 2 y 2 2 y 5 x 4 y x 2 y 2 5 x
z y 1; 1 4 1 1 5 13
a 1;2
a 1 2 5
2
2
1 2
a ;
5 5
0
z
1
2
13
13
1; 1 13 13 1 2
a
5
5
5
5

9.

7.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Примеры
Вычислить производную по заданному направлению в заданной точке.
z
2) u
, c 1; 1;1 , D 0;1;1
x y
u x
z
x y
u x 0;1;1 1
c 1; 1;1
2
z
u y
x y
u y 0;1;1 1
2
1
u z
x y
u z 0;1;1 1
1 1
1
;
;
c 1 1 1 3 c
3 3
3
2
2
2
0
1
u
1
1
1
0;1;1 1 1 1 3 3
c
3
3
3
3

10.

7.8 ГРАДИЕНТ
Градиентом функции z=f(х,у) в точке M(x;y) называется вектор:
grad z M z x M ; z y M
Свойства
1
Проекция градиента функции z=f(х,у) на направление s равна
производной по направлению s :
ПРs grad z
2
grad z s
s
z x cos z y cos
cos cos
2
2
z
s
Градиент функции z=f(х,у) в точке M(x;y) указывает направление,
вдоль которого производная по направлению максимальна, т.е.
градиент характеризует направление максимальной скорости
изменения функции в данной точке.

11.

7.8 ГРАДИЕНТ
3
Модуль градиента равен наибольшей скорости изменения функции в
данной точке.
4
Градиент функции z=f(х,у) в точке M(x;y) направлен по нормали к
линии уровня этой функции, проходящей через данную точку.
Замечание
Если задана функция
u f ( x, y, z ), то
grad u M u x M ; u y M ; u z M
Пример
Найти вектор, вдоль которого производная функции u по направлению
в точке А(1;0;-1) максимальна, вычислить эту производную.
u 3xy 2 z 2 x 2 yz 3 5 x 4 y 2 z 2

12.

7.8 ГРАДИЕНТ
Пример
Найти вектор, вдоль которого производная функции u по направлению в
точке А(1;0;-1) максимальна, вычислить эту производную.
u 3xy 2 z 2 x 2 yz 3 5 x 4 y 2 z 2
По свойствам 2, 3: требуется найти градиент и его длину.
u x 3 y 2 z 4 xyz 3 20 x 3 y 2 z 2
u x 1;0; 1 0
u y 6 xyz 2 x 2 z 3 10 x 4 yz 2
u y 1;0; 1 2 1 1 2
u z 3xy 2 6 x 2 yz 2 10 x 4 y 2 z
u z 1;0; 1 0
grad u 1;0; 1 0; 2;0
grad u 1;0; 1 02 2 02 2
2

13.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Пусть функция z=f(х,у) задана неявно, т.е.
F ( x, y, z ) 0,
её график – поверхность.
Прямая называется касательной к поверхности в данной точке,
если она является касательной к какой-либо кривой,
лежащей на поверхности и проходящей через эту точку.
Теорема
Пусть точка M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) лежит на поверхности, заданной
уравнением
F ( x, y, z ) 0.
Пусть частные производные
равны 0 одновременно.
Тогда
Fx , Fy , Fz непрерывны в точке Мₒ и не
1) все касательные прямые к поверхности в точке Мₒ лежат
в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью;
2) вектор
grad F M 0 Fx M 0 ; Fy M 0 ; Fz M 0
направлен по нормали к касательной плоскости.

14.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Вывод уравнения касательной плоскости к поверхности
z
x
Пусть
grad F M 0
M
y
M0 P
M ( x; y; z ) P
Р - плоскость
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) P
grad F M 0 Fx M 0 ; Fy M 0 ; Fz M 0 P
текущая точка плоскости,
тогда получаем вектор M 0 M
grad F M 0 M 0 M
Дано:
x x0 ; y y0 ; z z0 P.
grad F M 0 M 0 M 0
Fx M 0 x x0 Fy M 0 y y0 Fz M 0 z z0 0
уравнение касательной
плоскости в точке Мₒ

15.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Вывод уравнения нормали к поверхности
grad F M 0
z
x
Пусть
Р – плоскость,
N – прямая, P N
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) N
M0 P
y
N
Дано:
M
M ( x; y; z ) N
текущая точка прямой N,
тогда получаем вектор M 0 M
x x0 ; y y0 ; z z0 N .
их координаты пропорциональны
x x0
y y0
z z0
Fx M 0 Fy M 0 Fz M 0
уравнения нормали
в точке Мₒ

16.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Замечание
z f ( x, y ), M 0 ( x0 ; y0 ) D( z ),
f ( x, y ) z 0 F ( x, y , z ) f ( x, y ) z
Пусть поверхность задана явно, т.е.
тогда
Fx f x , Fy f y , Fz 1; z0 f ( x0 ; y0 )
подставим в уравнения:
f x M 0 x x0 f y M 0 y y0 ( 1) z z0 0
z z0 z x x0 ; y0 x x0 z y x0 ; y0 y y0
x x0
y y0
z z0
z x x0 ; y0 z y x0 ; y0
1
уравнение касательной
плоскости
уравнения нормали

17.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Примеры
1) Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке В для
поверхности, заданной явно:
z x 2 y 2 , B 3;4 .
z z0 z x x0 ; y0 x x0 z y x0 ; y0 y y0
z0 z 3;4 32 42 5
z x
z y
x
x2 y 2
y
x2 y 2
3
2
2
5
3 4
4
4
z y 3;4
2
2
5
3 4
z x 3;4
3
4
z 5 x 3 y 4
5
5
3

18.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Примеры
Приведём к виду
Ax By Cz D 0.
3
4
z 5 x 3 y 4 / 5
5
5
5 z 5 3 x 3 4 y 4
3 x 3 4 y 4 5 z 5 0
3 x 9 4 y 16 5 z 25 0
3x 4 y 5 z 0
- уравнение касательной плоскости
x x0
y y0
z z0
z x x0 ; y0 z y x0 ; y0
1
x 3 y 4 z 5
3
4
5
x 3 y 4 z 5
3
4
1
5
5
- уравнения нормали

19.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Примеры
2) Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке D для
поверхности, заданной неявно:
x3 y 3 z 3 6 xyz , D 1;2; 1 .
Fx M 0 x x0 Fy M 0 y y0 Fz M 0 z z0 0
F x; y; z x 3 y 3 z 3 6 xyz
Fx 3x 2 yz
Fx 1;2; 1 3 12 2 1 1
Fy 3 y 2 xz
Fy 1;2; 1 3 22 1 1 11
Fz 3z 2 xy
Fz 1;2; 1 3 1 1 2 5
2
1 x 1 11 y 2 5 z 1 0
x 1 11y 22 5 z 5 0
x 11y 5 z 18 0 - уравнение касательной плоскости

20.

7.9 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
К ПОВЕРХНОСТИ
Примеры
x x0
y y0
z z0
Fx M 0 Fy M 0 Fz M 0
x 1 y 2 z 1
1
11
5
- уравнения нормали

21.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...