Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків функцій

1.

Застосування похідної до
дослідження функцій та
побудови графіків функцій

2.

Дослідження властивостей функції
проводитимемо за таким планом.
1. Знайти область визначення функції.
2. Дослідити функцію на парність.
3. Знайти нулі функції.
4. Знайти проміжки зростання і спадання
функції.
5. Знайти точки екстремуму та значення
функції в точках екстремуму.
6. Виявити інші особливості функції
(періодичність функції, поведінку функції в
околах окремих важливих точок тощо).

3.

1) y x 2 6 х 5
1) D(f) =R
2) f(x) ні парна ні непарна
3) – х2 + 6х – 5 = 0
D = 16
x1 =1
x2 = 5
4) у’= – 2x +6
+
– 2x +6 = 0
3
– 2x = – 6
x=3
f(x) зростає на ;3 f (x) спадає на 3;
хmax 3 точка екстремуму, точка максимуму
ymax =f(xmax) = – 32 + 6∙3 – 5 = 4
екстремум функції, максимум функції

4.

y
4
0
1
3
5
x

5.

2)
1) D(f) =R
2) f(x) ні парна ні непарна
3) 3x2 – x3 = 0
x2 (3– x) = 0
x1 =0
x2 = 3
4) f ’(x) = 6x – 3x2
+
2
6x – 3x = 0
2
0
3x(2 – x) = 0
xmin = 0, xmax =2
f (0) = 3(0)2 – (0)3 = 0
f (-1) = 3(-1)2 – (-1)3 = 4
f (2) = 3(2)2 – (2)3 = 4

6.

y
4
-1
0
2 3
x -1 0 2 3
y 4 0 4 0
x

7.

3) f (x) = (x2 – 2)2
1) D(f) =R
2) f (-x) = f (x) функція парна
3) (x2 – 2)2 =0
(( х 2)( х 2)) 2 0
х1 2, х2 2
4) f (x) = x4 – 4x2 + 4
f ’(x) = 4x3 – 8x
4x3 – 8x = 0
4x(x2 –2) = 0
xmin 2, xmax 0, xmin 2
f ( 2) = 0, f ( 2) =0,
f (-2) = 4, f (2) =4
-
+
2
f(0)=4
0 2
+

8.

y
4
-2
20
2
2
3
x -2 2 0 2 2
y 4 0 4 0 4
x

9.

1) № 17.2 (3), стор. 172 (Нелін)
2) f (x) = x3 + 3x2