Геометрическая прогрессия

1.

Геометрическая
прогрессия

2.

Числовую последовательность, все члены
которой отличны от 0 и каждый член ,
начиная со второго, получается из
предыдущего члена умножением на одно
и то же число q, называется
геометрической прогрессией.
q-знаменатель геометрической
прогрессии
вn вп 1 q
вп
q
вп 1

3.

q в2 : в1 в3 : в2
Например :
1)1;3;9; 27;81... возрастающая геометрич. прогр.
q 3 0
3 3 3 3
2)3; ; ; ; ... убывающ. геометрич. прогрессия
2 4 8 16
1
q ; 0 q 1
2
3)2; 2; 2; 2; 2; 2... геом. прогрессия
q 1

4.

Если q>1 и первый член положительный,
то геометрическая прогрессия является
возрастающей.
Если 0<q<1 и первый член положительный,
то геометрическая прогрессия является
убывающей
(вп )-геометрическая прогрессия
в 1 ; в2 ; в3 ..., вп геометрическая прогр.
q
знаменатель
2
2
2
2
в1 ; в2 ; в3 ...вп геометр.прогрес.
q знаменатель
2

5.

в1
Формула п-го члена
геометрической прогрессии
в2 в1 q
2
в3 в2 q в1 q q в1 q
в4 в3 q в1 q q в1 q
2
в5 в1 q
5
в6 в1 q
4
...............
п 1
вп в1 q
3
вп в1 q
п 1
формула п го члена
геометрической
прогрессии

6.

Например :
1) Дано :1;3;9; 27;81 геомет. прогрес.
Составить формулу п го члена
Решение :
вп в1 q
п 1
3
в1 1; q 3
1
п 1
п 1
вп 1 3 3
п 1
Ответ : вп 3

7.

2) Дано : (вп ) геометричес.прогрессия
2
в1 ; q 3
3
Найти : в6
Решение :
вп в1 q
п 1
2
2
5
в6 ( 3) 243 162
3
3
Ответ : 162

8.

3) Дано : (вп ) геометрич.прогрессия
в1 3; q 2; вп 1536
Найти : п
Решение :
п 1
вп в1 q
п 1
1536 3 2
п 1
1536 3 2 / : 3
512 2
п 1 9
п 10
п 1
Ответ : в10 1536

9.

4) Дано : (вп ) геометр.прогр.
7
в1 14; в7
32
Найти : q
Решение :
вп в1 q
7
6
14 q
32
1
6
q
64
п 1
1
q1,2
2
1
Ответ :
2

10.

5) Разность между седьмым и пятым
членами геометрической прогрессии
равна 48, а сумма пятого и шестого
членов прогрессии также равна 48.
Найти двенадцатый член прогрессии.
Решение :
в7 в5 48
в5 в6 48
в1q в1q 48
4
5
в1q в1q 48
6
4
в1q (q 1) 48
4
в1q (q 1) 48
4
2

11.

в1q 4 (q 2 1) 48
4
в1q (q 1) 48
(1) : (2)
q 1
1
q 1
2
q 1 1
q 2
Если q 2, то в1 2 (2 1) 48
48
11
11
в
в
q
1
2
2048
в1
1
12
1
16 3
4
2
Ответ : в12 2048

12.

Формула суммы п-первых членов
геометрической прогрессии
Древняя индийская легенда рассказывает,
что изобретатель шахмат попросил в
награду за свое изобретение столько
пшеничных зерен, сколько их получится,
если на первую клетку шахматной доски
положить одно зерно, а на каждую
следующую каждый раз в два раза больше,
чем на предыдущую. Какая малость
ответил шах. Тогда почему изобретатель
шахмат не получил свою награду?

13.

Подсчитаем, сколько ему нужно было
выдать зерен на доске в 64 кл. Обозначим
за S сумму этих зерен.
S 1 2 2 2 ... 2 2
2
3
62
63
64
2S 2 2 2 ... 2 2 2
2
3
62
63
(2) (1)
64
2S S 2 1
эта масса зерен составляет
больше триллиона тонн и
превосходит число пшеницы
собранной до настоящего времени

14.

Так же выводится и формула суммы
Пусть Sп сумма п первых членов
геометрич. прог
Sп в1 в2 в3 ... вп 1 вп
qSп в1q в2 q в3q ... вп 1q вп q
qSп в2 в3 в4 ... вп вп q
(3) (1)
qSп Sп вп q в1
Sп (q 1) вп q в1
вп q в1
Sп
q 1
q 1

15.

Этой формулой пользоваться неудобно.
Преобразуем ее.
вп q в1
Sп
q 1
вп в1 q
п 1
Подставим
п 1
п
вп q в1 в1 q q в1 в1q в1
Sп
q 1
q 1
q 1
в1 (q 1) формула суммы п первых
Sп
членов геометрической
q 1
прогрессии
q 1
п

16.

Если q 1, то Sп п в 1 , так как
прогрессия имеет вид
Например :
в1 ; в1 ; в1 ; в1...
1) Дано : (вп ) геометр.прог
в1 3; q 2
Найти : S6
и сумму квадратов ее шести первых членов
Решение
:
п
в1 (q 1)
Sп
q 1
3(2 1)
S6
189
2 1
6
в12 (q 2 п 1) 9(46 1)
Sп
12285
2
q 1
3

17.

2) Дано : (вп ) геометр.прогр.
в3 12; в5 48
Найти : S6
Решение :
п
в1 (q 1)
Sп
q 1
в3 12
в5 48
в1q 12
4
в1q 48
2
(2) : (1)
q 4
2
q 2

18.

1) Если q 2, то в1 4 12
в1 3
6
3(2 1)
S6
189
2 1
2)1) Если q 2, то в1 4 12
в1 3
3(( 2) 1)
S6
63
2 1
6
Ответ : 63 или 189

19.

Характеристическое свойство
геометрической прогрессии
Числовая последовательность является
геометрической прогрессией тогда и
только тогда, когда квадрат каждого ее
члена(кроме первого и последнего) равен
произведению предшествующего и
последующего членов.
вп вп 1 вп 1
среднее
геометрическое

20.

в1 в8 в2 в7 в4 в5
в1 в7 в2 в6 в4 в4 в
2
4
Например :
1)1;3;9; 27;81 геом.прогр.
3 1 9;
9 3 27 81

21.

2) При каком значении х числа 10х+7; 4х+6; 2х+3
образуют геометрическую прогрессию
Решение : Согласно характеристическому
свойству
4 х 6 (10 х 7)(2 х 3)
(4 х 6) (10 х 7)(2 х 3)
2
2
16 х 48 х 36 20 х 44 х 21
2
4 х 4 х 15 0 х1 2,5; х2 1,5
Проверка :
1)если х 2,5, то получаем
2
32;16;8 геометр.прогрессия

22.

2)если х 1,5, то
8;0;0 не геометр.прогр
Ответ : 2,5

23.

Сумма бесконечной
геометрической прогрессии
Если q 1, то вычисление Sп упрощается
Например : Дана беск. геом. прогрессия
1
1
1 1 1
q
1
1; ; ; ...
2
2
2 4 8
п
п
1
1
п
в1 (q 1) 1 ( 2 1) 2 1 2 1
Sп
п 1
2
1
1
q 1
1
2
2
1
0 при увел. п
п 1
2

24.

Значит Sп 2
Точно так же и в формуле
п
в1 (q 1) в1q п в1
в1q в1
Sп
q 1
q 1
1 q
п
п
п
в1q
в1
в1
в1
в1q
(
)
1 q 1 q 1 q 1 q 1 q
в1
Sп
для q 1
1 q

25.

Например :
4
1) Дано :12; 4; ... беск.геом.прогр
3
Найти Sп
Решение :
в1
Sп
в1 12;
1 q
в1
12
Sп
9
1 q 1 1
3
4
1
q
12
3
1
1
3
Ответ : 9

26.

2)Дано квадрат со стороной 4 м. Середины
сторон этого квадрата является
вершинами следующего и т. д. Найти
сумму площадей всех квадратов.
Дана беск. геом. прогр
в1 4 4 16( м )
2
1
q (сер.сторон)
2
в1
16
2
Sп
32( м )
1 q 1 1
2

27.

3) Представьте беск. периодическую
десятичную дробь в виде обыкновенной
а)0, (18) 0,18 0, 0018 0, 000018 ...
в1 0,0018
0, 0018
q
0, 01
0,18
0, 01 1
в1
0,18
0,18 18 2
Sп
1 q 1 0, 01 0,99 99 11
2
Ответ : 0, (18)
11

28.

б )0, 2(3) 0, 2 0, 03 0, 003 0, 0003 ...
беск. геом. прог
в1 0,03
0, 003
q
0,1
0, 03
0,1 1
в1
0, 03 0, 03 3
1
Sп
1 q 1 0,1 0,9 90 30
1
2 1 6 1 7
0, 2
30 10 30
30
30
7
Ответ : 0, 2(3)
30

29.

Формулы
вn вп 1 q
вп
q
вп 1
вп в1 q
п 1
в1 (q 1)
Sп
q 1
q 1
п
вп вп 1 вп 1
в1
Sп
для q 1
1 q