Понятие конуса. Площадь поверхности конуса

1.

2.

Рассмотрим окружность L
OP
Через точку Р и каждую точку окружности проведем
прямую. Поверхность, образованная этими прямыми
называется конической поверхностью. Сами прямые
называются образующими конической поверхности.
P
А
O

3.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с
границей L, называется конусом.
Ось конуса
А
Образующая
конуса
Вершина конуса
Высота конуса
Боковая
поверхность конуса
O
С
Радиус основания
конуса
Основание
конуса

4.

Конус может быть получен путем вращения прямоугольного
треугольника вокруг одного из его катетов.
А
В
С

5.

Конус может быть получен путем вращения равнобедренного
треугольника вокруг его высоты, опущенной на основание.
А
l
В
С

6. Работаем в тетради:

ВЕРШИНА
ВЫСОТА h
h
ОБРАЗУЮЩАЯ L
L
R
РАДИУС
ОСНОВАНИЕ

7.

Сечения конуса
А
Осевое сечение конуса
равнобедренный остроугольный
треугольник
О

8.

Осевое сечение конуса
равнобедренный прямоугольный
треугольник
А
О

9.

Сечения конуса
Осевое сечение конуса
равнобедренный тупоугольный
треугольник
А
О

10.

Равнобедренный остроугольный
треугольник
А
B
О
M

11.

Равнобедренный тупоугольный
треугольник
А
M
B
О

12.

А
Сечение конуса плоскостью,
перпендикулярной к его оси,
круг.
О

13.

А
Эллипс

14. Боковая поверхность конуса

Если разрезать конус по образующей, то получим развертку
конуса.
Sбок=πRL
C
L
A
B

15. Формула площади полной поверхности конуса

Sп.к = Sб.к + Sосн
2
Sп.к = πRl + π R
Sп.к = π R(R+l)
К
О
А
В

16.

Опорный конспект
Вершина
Полная
поверхность
Sполн=πR(L+R)
Высота h
Боковая
поверхность
Sбок=πRL

17. ЗАДАЧА 1.

По данным чертежа (ОВ=3, КВ=5) вычислите площадь
боковой и площадь полной поверхности конуса:
К
5
А
О
3
О
В

18. Решение:

Дано: конус; R=3,l=5.
Найти: Sб.к , Sп.к.
Решение.
Sб.к = π*3*5=15 π;
Sосн = π*32 =9 π;
Sп.к =15π+9π=24π.
К
5
А
О
О
3
В

19. ЗАДАЧА 2.

По данным чертежа (ОВ=5, КО=12)
вычислите площадь боковой и площадь
полной поверхности конуса
К
12
А
5
О
В

20. Решение:

К
Дано: конус; R=5, h=12.
Найти: Sб.к , Sп.к.
Решение.
l2=144+25=169, l=13;
Sб.к=π*13*5=65 π;
Sосн = π*52 =25 π;
Sп.к =65π+25π;
Sп.к =90π.
12
А
5
О
В

21. ЗАДАЧА 3.

По данным чертежа (ОВ=6, ∟АКО=30о)
вычислите площадь боковой и площадь
полной поверхности конуса
К
30о
А
6
О
В

22. Решение:

Дано: конус;
R=6,∟АКО=30о.
Найти: Sб.к , Sп.к.
Решение.
l=R/sin30о,l=6/0.5=12;
Sб.к=π*12*6=72π;
Sосн = π*62 =36π;
Sп.к =72π+36π;
Sп.к =108π.
К
30о
А
6
О
В

23. ЗАДАЧА 4.

А
РАВНЫ ЛИ ПЛОЩАДИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ ДВУХ
КОНУСОВ, ОБРАЗОВАННЫХ
ПРИ ВРАЩЕНИИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА АВС
ВОКРУГ КАТЕТОВ?
С
С
В
А
С
С
В

24. Решение:

1. R=ВС= a ;
Sп.к.1= Sб.к.1+ Sосн1=π a с+π a2 = π a (a + с).
2. R=АС= b ;
Sп.к.2= Sб.к.2+ Sосн2=π b с+π b2= π b (b + с).
Если Sп.к.1 = Sп.к.2, то
a2 +aс = b2 +bc, a2-b2+ac - bc=0, (a-b)(a+b+c)=0.
Т.к a,b,c – положительные числа (длины сторон
треугольника), то равенство верно только в случае,
если a = b.