Similar presentations:
Определение конуса
1. Определение конуса.
МОУ СОШ №256г.Фокино
2. Круговым конусом называется тело ограниченное кругом – основанием конуса, и конической поверхностью, образованной отрезками,
соединяющими точку, вершину конуса, со всемиточками окружности, ограничивающей основание
конуса.
3. Элементы конуса.
4. Конус – это тело, которое получается, если коническую поверхность, образованную прямыми, соединяющими фиксированную точку со
всеми точками какой–нибудькривой, ограничить плоскостью.
5. Прямой круговой конус.
Круговой конусназывается
прямым, если его
высота попадает в
центр круга.
6. Все образующие конуса равны между собой и составляют один угол с основанием.
SOA SOBSA SB l
SAO SBO
7.
?• Чему равен угол
между
образующей и
основанием
конуса, если
известен угол
между высотой
и образующей.
650
8.
• Конус можнополучить, вращая
прямоугольный
треугольник вокруг
одного из катетов.
При этом осью
вращения будет
прямая, содержащая
высоту конуса. Эта
прямая так и
называется – осью
конуса.
9.
?• Конус получен при
вращении
прямоугольного
треугольника
S = 14. Радиус
основания конуса
равен 4.
Определите
высоту этого
конуса.
7
10. Сечения конуса.
• Если черезвершину конуса
провести
плоскость,
пересекающую
основание, то в
сечении
получится
равнобедренный
треугольник.
11. Сечения конуса.
• Сечение конуса,проходящее через ось,
называется осевым.
В основании осевого
сечения лежит
диаметр –
максимальная хорда,
поэтому угол при
вершине осевого
сечения – это
SKL осевое сечение
максимальный угол
KL 2 R диаметр
между образующими
KSL 2 угол при
конуса. (Угол при
вершине конуса).
вершине конуса.
12.
?• Найдите
площадь осевого
сечения, если
известны радиус
основания конуса
и образующая.
30
13.
Сечения конуса.• Любое сечение
конуса
плоскостью,
параллельной
основанию, - это
круг.
14.
?• Через середину
высоты конуса
провели плоскость,
перпендикулярную
оси, и получили
круг R = 5. Чему
равна площадь
основания конуса?
100π
15. Задача.
Дано: H = R = 5;SAB – сечение;
d (O, SAB) = 3.
Найти: SΔSAB
16. 1) В сечении равнобедренный треугольник. Найдем его высоту.
SOH ~ SDOSD SO
SO SH
SO
5 5
25
SH
2
2
SD
4
5 3
2
17. 2) Определим боковые стороны и основание треугольника, являющегося сечением.
Из SOA:SA 52 52 5 2
Из SAH :
175 5 7
AH SA SH
4
4
2
2
18. 3) Вычислим площадь треугольника.
25SH
4
5 7
AH
4
5 5
AB 2 AH
2
1
1 25 5 7 125 7
S SAB SH AB
2
2 4
2
16
19. Вписанная и описанная пирамиды.
Пирамидой,вписанной в конус,
называется такая
пирамида,
основание которой
– многоугольник,
вписанный в
основание конуса, а
вершина совпадает
с вершиной конуса.
20.
?• Пусть высота конуса
равна 5 , а радиус
основания – 2.
В конус вписана
правильная
треугольная
пирамида.
Определите ее объем.
5√3
21. Вписанная и описанная пирамиды.
Пирамиданазывается
описанной около
конуса, если ее
основание – это
многоугольник,
описанный около
основания конуса, а
вершина совпадает
с вершиной конуса.
22.
Плоскости боковыхграней описанной
пирамиды проходят
через образующую
конуса и
касательную к
окружности
основания, т.е.
касаются боковой
поверхности конуса.
23.
?• Вокруг конуса
описана правильная
четырехугольная
пирамида. Радиус
основания и
образующая конуса
известны. Найдите
боковое ребро
пирамиды.
2√2
24. Боковая поверхность конуса.
Под боковойповерхностью конуса
мы будем понимать
предел, к которому
стремится боковая
поверхность
вписанной в этот
конус правильной
пирамиды, когда
число боковых граней
неограниченно
увеличивается.
25. Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения длины окружности основания на образующую.
Дано:R – радиус основания
конуса,
l – образующая конуса.
Доказать:
Sбок.кон.= π Rl
26. Доказательство:
1S бок.пир. Росн.пир. h
2
h l
Pосн.пир. 2 R
1
S бок.кон. 2 Rl Rl
2
27.
?• Пусть конус
будет получен от
вращения
прямоугольного
треугольника с
известными
катетами.
Найдите боковую
поверхность
этого конуса.
20π
28. Развертка конуса.
Развертка конуса –это круговой сектор.
Его можно
рассматривать как
развертку боковой
поверхности
вписанной
правильной
пирамиды, у
которой число
боковых граней
бесконечно
увеличивается.
29.
• Зная угол,образованный
высотой и
образующей
конуса, можно
вычислить угол
сектора,
полученного при
развертке
конуса, и
наоборот.
30.
• Найдем выражениедля градусной меры
угла развертки
конуса.
31.
?• По данным рисунка
определите, чему
равен угол
развертки этого
конуса. Ответ
дайте в градусах.
720
32.
Задача.Дано: полукруг радиусом R = 8.
Найти: Н, β ( угол между образующей и
основанием.)
33. 1) Используем формулу, связывающую угол кругового сектора развертки с углом между высотой и образующей конуса. Получим угол
между высотой иобразующей, а затем найдем угол между образующей и
основанием конуса.
2 sin
1
sin
2
0
30
0
0
90 60
34. 2) Найдем высоту конуса, используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике.
Htg
R
tg 60 3
0
Н R tg
H 8 3
35. Объем конуса.
Теорема. Объем конуса равен одной третипроизведения площади основания на высоту.
Дано: R – радиус основания
Н – высота конуса
Доказать: Vкон.= 1/3 Sосн.H
1
2
Vкон. R H
3
36.
Доказательство:Объемом конуса будем
считать предел, к
которому стремится
объем вписанной в
этот конус
правильной
пирамиды, когда
число боковых граней
неограниченно
увеличивается.
37.
Доказательство:1
Vпир. S осн.пир. H
3
S осн.пир. S осн.кон. R
2
1
1
1 2
S осн.пир. Н S осн.кон. Н R H
3
3
3
1 2
Vкон. R H
3
38.
?• Найдите объем
конуса, если
радиус его
основания равен
трем, а
образующая
равна пяти.
12π
39.
Задача.Дано:
SABC – пирамида,
вписанная в конус
SA = 13, AB = 5,
ےACB = 300.
Найти: Vконуса
40. 1) Найдем радиус конуса по теореме синусов.
52R
0
sin 30
1
0
sin 30
2
R 5
41. 2) У пирамиды, вписанной в конус, высота равна высоте конуса и попадает в центр описанной окружности. Найдем высоту пирамиды.
Из SOB :SB R H
2
2
2
H SB R 12
2
2
42. 3) Определим объем конуса.
12
Vкон. R H
3
1
2
Vкон. 5 12 100
3