Определенный интеграл

1.

Определенный
интеграл

2.

Из истории интегрального
исчисления:
Возникновение задач интегрального
исчисления связано с нахождением
площадей и объемов. Ряд задач такого рода
был решен математиками
древней Греции.
В XVII веке были сделаны многие открытия,
относящиеся к интегральному исчислению

3.

Необходимо было
выделить общие идеи,
лежащие в основе решения
многих частных задач, а
также установить связь
операций
дифференцирования и
интегрирования, дающую
достаточно точный
алгоритм.
Это сделали Ньютон и
Лейбниц: независимо друг
от друга, открыли формулу
нахождения определенного
интеграла- формулу
Ньютона-Лейбница.

4.

Применение определенного
интеграла
В математике:
• Вычисление площадей фигур.
• Длина дуги кривой.
• Объем тела вращения и т.д.
В физике:
• Вычисление работы, произведенной переменной силой.
• Вычисление пути, пройденного телом.
• Вычисление массы тела.
• Вычисление координаты центра тяжести
• Вычисление электрического заряда в проводнике с током
и т.д.

5.

Определение определенного
интеграла
Пусть функция f(x)-непрерывна на отрезке
[a;b].
Если F(x)+С - первообразная функция для f(x),
то приращение F(b)-F(a) первообразных
функций при изменении аргумента от х=а до
х=b называется определенным интегралом.

6.

b
Обозначение определенного
интеграла
f
(
x
)
dx
a
ɑ -нижний предел интегрирования
b-верхний предел интегрирования
Читается:
интеграл от ɑ до b функции f(x) по dx.

7.

Формула Ньютона-лейбница
b
f ( x) dx F ( x) F (b) F (а)
b
a
a
Алгоритм:
1) Найти первообразную F(x)
2) Найти значение первообразной F(b)
3) Найти значение первообразной F(a)
4) Найти разность F(b)-F(a) (получаем число!!!)

8.

Свойства определенного
интеграла
b
b
b
a
a
1) ( f ( x) g ( x)) dx f ( x) g ( x)
a
b
b
a
a
2) kf ( x)dx k f ( x)dx
b
a
a
b
3) f ( x)dx f ( x)dx
b
c
b
a
a
c
4) f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

9.

Метод подстановки
в определенном интеграле
Применяется, если функция под знаком
интеграла:
а)дробь, в знаменателе которой сумма или
разность
(t-знаменатель)
б)сложная функция
(t-внутренняя функция)

10.

Алгоритм метода подстановки:
1) Ввести новую переменную t;
2) Найти дифференциалы левой и правой частей
равенства и выразить dx через dt.
4) Найти новые пределы интегрирования для
переменной t верхнее, t нижнее;
5) Произвести замену в интеграле;
6) Найти интеграл по переменной t.
Примечание: обратную замену делать не надо!!!

11.

Метод интегрирования по частям
в определенном интеграле