Понятие о неинерциальных системах отсчета. Лекция 6

1.

Сегодня: вторник, 25 октября 2022 г.
Лекция 6
Понятие о
неинерциальных системах отсчета

2.

Неинерциальные СО
Неинерциальные СО – системы отсчёта,
движущиеся относительно инерциальных
систем отсчета с ускорением.
• Геоцентрическая система отсчета (жёстко
связанная с Землёй) в общем случае является
неинерциальной вследствие суточного вращения
Земли.
• Максимальное ускорение точек Земли не
превосходит 0,5 %g. Следовательно, в
большинстве практических задач
геоцентрическую СО считают инерциальной.

3.

а
а
Поезд двинулся с
ускорением а, шарик
приобрёл ускорение а.
В неинерциальных СО
первый закон Ньютона
нарушается: тело
получает ускорение без
взаимодействия с
другими телами.

4.

а
N
Поезд движется с
ускорением, шарик у
стенки, на него действует
сила реакции опоры N, но
шарик находится в покое.
В неинерциальных СО
второй закон Ньютона
нарушается: при наличии
взаимодействия тело не
получает ускорение.

5.

Принцип Даламбера
В момент t = 0 системы К и К′
совпадают.
Система К′ начинает двигаться
относительно К с ускорением а.
В момент t:
a
y'
Н С О
K'
y
rн
rи
K
0'
x'
r0'
0
x
И С О
v0 ' at ; rи r0 ' rн , (1)
rи – радиус-вектор материальной
точки в системе К,
rн – радиус-вектор материальной
точки в системе К',
r0' – радиус-вектор начало координат
системы К' в системе К.

6.

Продифференцируем уравнение (1) по времени:
drи dr0 ' drн
, (2) dt dt'.
dt dt dt
vи v0 ' vн .(3)
dvи dv0 ' dvн
, (4) v0 ' at
dt
dt
dt
aи а ан , (5) ан aи а , (6)
ан – ускорение материальной точки относительно
НСО,
аи – ускорение материальной точки относительно
ИСО,
а – ускорение НСО относительно ИСО.

7.

mа н maи mа , (7)
maи R – векторная сумма сил
взаимодействия,
ma J – сила инерции.
mан R J (7) принцип Даламбера.
Произведение массы тела на его ускорение
относительно НСО равно векторной сумме
сил взаимодействия сложенной с силой инерции.

8.

Сила инерции
Сила инерции – фиктивная сила в том
смысле, что она не обусловлена
взаимодействием с другими телами, а
вызвана ускоренным движением НСО
относительно ИСО.
Т.к. сила инерции обусловлена ускоренным
движением системы отсчёта относительно
другой СО, то она не подчиняется
третьему закону Ньютона.

9.

aи ан а , m aи mан mа
mан maи
mа.
а
J
а
J
a.
m
а
N
R
J
J N , J ma.
maн R J .

10.

Сила инерции
во вращающихся системах отсчёта
0
Центробежная сила инерции во
вращающихся СО зависит от
m
местоположения тела в СО.
n
R
n – единичный орт.
mан maи
mа, J m aи ан .(1)
J
Тело m покоится относительно диска (НСО),
т.е. вращается вместе с диском
а н 0, (2)
2
аи Rn.(3)
2
J m Rn , R R n
2
J ц .б m R.(4)
центробежная сила и

11.

Свойства центробежной силы:
1) величина центробежной силы инерции
(Fц.б) зависит от положения тела во
вращающейся СО,
2) величина Fц.б не зависит от скорости тела
относительно вращающейся СО,
3) Fц.б является консервативной.

12.

2
dA Fц .б dR; dA m R dR.
2
2
dR
2
dR
2
R dR
, R R R cos R, R R ,
R dR.
2
2
dA m R dR.
2
m R
A12 R m R dR
2
R2
1
2
2
m R R
,
2
R
2 R2
1
т.е. не зависит от формы пути.
2
2
2
2
1

13.

Из-за Fц.б направления Fтяжести и Fтяготения
не совпадают.
ab mg sin ,
ω
F ц .б
β
Fт
m g
a
φ
b
ab Fц .б sin
2
m RЗ cos sin .
2
RЗ cos sin
sin
R з∙c o s φ
RЗ sin 2
g
2
2g
.
sin 0,0018 sin 2 .

14.

Сила Кариолиса
vн – скорость движения
ω
0
vн
n
r
FК
материальной точки
относительно
вращающейся СО –
НСО, направление vн
произвольное.
На эту точку действует
сила, обусловленная
инерцией
FК ~ vн sin vн , vн .
900

15.

Скорость точки относительно ИСО:
vи vн v vн , r .(1)
J m aи ан .(2)
Пусть
vн v .
2
2
2
vн r и
vи
vи
aи n n
n.(3)
r 2 r 2
r
vн
vн
aн n n.(4)
r
r
2
2
2 2
vн r r
vн
vн
J m 2
r
r
r
n m 2vн r n.
r
2

16.

vн r 2 r 2 vн2
vн2
2
J m 2
n m 2vн r n.
r
r
r
r
2
Fц.б m rn.
FК m2vн n.
FК 2m vн .
• В общем случае
Если материальная точка движется во
вращающейся СО со скоростью vн, то на
материальную точку действует сила
Кариолиса FК 2m vн .

17.

Свойства силы Кариолиса:
1) величина FК не зависит от положения
материальной точки во вращающейся СО,
2) величина
F
зависит
от
скорости
vн,
К
3) FК vн FК работы не совершает. Эта
сила называется гироскопической.

18.

Закон Бэра
ω
vн
ω
FК
ω
FК
ω
FК
vн
vн
В северном полушарии
Если тело движется на север FК на восток,
если тело движется на юг - FК
на запад.
Следовательно, правый берег
рек подмывается сильнее;
правые рельсы железных дорог
по движению изнашиваются
сильнее.
В южном полушарии
FК направлена влево по
отношению к направлению
движения vн.

19.

Гравитационное поле
Фундаментальные взаимодействия: электронное,
гравитационное, сильное, слабое.
Гравитационное взаимодействие универсальное,
т.е. возникает между любыми двумя
материальными точками.
Закон всемирного тяготения: между любыми
двумя материальными точками действует сила
взаимного притяжения прямо пропорциональная
произведению масс этих точек и обратно
пропорциональная квадрату расстояния между
ними

20.

m1 m2
F
r,
3
r
2
11 Н м
6,67 10
гравитац. пост.
2
кг
Первая формулировка дана Ньютоном в
1687 г. в труде «Математические начала
натуральной философии».
Гравитационная масса – мера способности
тел притягивать и притягиваться к другим
телам.
Величину γ оценил Ньютон. Более точно в
1797 г. определил Кавендиш с помощью
крутильного маятника.

21.

Напряженность поля тяготения
Это векторная величина, численно
равная силе, действующей на единицу
массы, помещенную в данную точку
поля и направленная вдоль действия
силы (или совпадает с силой
тяготения).
F
M
G ; G 3 r .
m
r

22.

Принцип суперпозиции
G G1 G2 ... Gn .
Если гравитационное поле создано
системой материальных точек
(гравитационных масс), то результирующая
напряженность поля равна векторной
сумме напряженностей полей, создаваемых
в этой точке каждой материальной точкой.

23.

Работа в гравитационном поле
m
r
0
M
m M
dA Fdr ; dA
r dr ,
3
r
1 2 1
2
r dr d r d r rdr.
2
2
m M
m M
dA
rdr
dr.
3
2
r
r
r
1 1
m M
m M
A12 r
dr
mM .(1)
2
r
r r
r2 r1
2
r2
1
1
Гравитационные силы консервативные.

24.

Потенциальная энергия в поле тяготения.
dA dE p .
A12 E p 2 E p1 E p1 E p 2 .(2)
Сравнивая уравнении (1) и (2), запишем
mM
mM
E p1
, E p 2
.
r1
r2
Ep
0
r

25.

Потенциал поля тяготения
Ep
M
; M точечная масса.
m
r
Потенциал поля тяготения в данной точке равен
потенциальной энергии тела единичной массы,
помещенного в данную точку поля.
Принцип суперпозиции:
1 2 ... n .
Если гравитационное поле создано системой
точечных масс, то потенциал результирующего
поля в данной точке равен алгебраической сумме
потенциалов, созданных в этой точке каждой из
точечных масс по отдельности.

26.

Эквипотенциальные поверхности
Геометрическое место точек, потенциал
которых одинаков, называется
эквипотенциальной поверхностью или
поверхностью равного потенциала.
Для точечных масс – сфера.
Связь напряженности
и потенциала поля
тяготения:
G grad .

27.

«Взвешивание» (определение массы)
Солнца, Земли, планет
Fтяготения Fц .б .
2
2
mM
v 2 R 1 4 2 R
2 maц .б , aц .б
.
2
R
R T R
T
mM
4 R
4 R
2 m 2 M
,
2
R
T
T
2
2
3
М – масса Солнца,
R – расстояние между Землёй и Солнцем,
Т – период обращения Земли вокруг Солнца.

28.

Космические скорости
v1
a ц .с
h
RЗ
Первая космическая скорость
(круговая) – минимальная скорость,
которую надо сообщить телу,
чтобы оно могло двигаться вокруг
Земли по круговой орбите.
Становится искусственным
спутником Земли.
Движение финитное.
Fт maц .с .(1)
M
2
2
v1 , (2)
mM
mv1
RЗ
; h RЗ
2
RЗ h RЗ h
mM
Fт gm
2
З
R
.

29.

M
км
(2) v1 2 RЗ gRЗ 7,9 .
RЗ
с
g

30.

Вторая космическая скорость (параболическая) –
минимальная скорость, которую надо сообщить
телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение
Земли и стать искусственным спутником Солнца,
т.е. его орбита в поле тяготения Солнца будет
параболической.
Потенциальная энергия на
большом расстоянии от
E
Земли стремится к 0.
R
Кинетическая энергия
0
r
должна быть равна работе
(∆Ep), совершаемой против
сил тяготения.
p
З

31.

км
MЗ
mM З
mv
v2 2 2 RЗ 2 gRЗ 11,2 .
с
RЗ
RЗ
2
2
2
g
Ep
0
RЗ
r

32.

Третья космическая скорость – скорость,
которую надо сообщить телу, чтобы оно
преодолело притяжение Солнца и покинуло
пределы Солнечной системы.
v3 =16,7 км/с.

33.

Законы Кеплера.
Законы движения планет
Описывают движение тел в центральном
поле, каковым является поле тяготение.
Кеплер (1571 – 1630 гг.) уточнил
результаты наблюдений датского
астронома Браге (1546 – 1601 гг.)
1. Планеты Солнечной системы вращаются
по эллипсам, в одном из фокусов которых
находится Солнце.

34.

2. Радиус-вектор планет
за равные промежутки
времени описывает
одинаковые площади.
3. Квадраты периодов
обращения планет
вокруг Солнца
относятся как кубы
больших полуосей их
орбит.
2
3
1
3
2
T1
a
.
2
T2 a

35.

Для круговых орбит a = R.
Законы Кеплера являются следствием
законов Ньютона.
Например, третий закон Кеплера. Для
частного случая движения планет по
круговой орбите.
2
4 R
Для планеты 1: масса Солнца
M
.
2
T1
2
3
4
R
2
Для планеты 2: масса Солнца
M
.
2
T2
3
3
2
3
3
R1 R2
T1
R1 a1
2 2 3 3.
2
T1 T2
T2
R2 a 2
3
1

36.

Чёрные дыры
Чёрные дыры – космические объекты,
поглощающие все частицы, в том числе
фотоны, проходящие через их поверхность.
Если фотон поглощается, то его
кинетическая энергия меньше (равна) его
потенциальной энергии в поле чёрной
дыры. Следовательно,
2
М – масса чёрной дыры,
mc
mM
, r – радиус чёрной дыры.
2
Eк фо тона
r

37.

2M
r 2 ,
c
Если
то свет не может покинуть данный
классический объект.
Т.к. чёрные дыры поглощают всё и почти
ничего не испускают, то о существовании
чёрных дыр можно судить по косвенным
данным – поглощению вещества и
испусканию в этом процессе излучения.