Анализ алгоритмов построения точных формул для кратных корней полинома на примере алгебраического уравнения пятой степени

1.

Учреждение образования
«Витебский государственный
университет имени П.М. Машерова»
Факультет математики и
информационных технологий
АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ ФОРМУЛ
ДЛЯ КРАТНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА НА ПРИМЕРЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
Чернявский Михаил Михайлович,
преподаватель кафедры Г и МА,
Грицкевич Никита Сергеевич,
студент 2 курса ФМиИТ
Научный руководитель
Трубников Юрий Валентинович,
профессор кафедры Г и МА,
доктор физ.-мат. наук, профессор

2.

Известно, в общем случае корни произвольного алгебраического
полинома пятой степени и выше не могут быть выражены в виде
конечной комбинации арифметических действий и радикалов от
коэффициентов полинома (теорема Абеля).
Но если полином имеет единственный кратный корень, то этот
корень можно выразить в виде дробно-рациональной функции от
коэффициентов полинома.
В современной литературе, посвященной непосредственно
исследованию полиномов, имеющих кратные корни, например, в [1][3], не приводится конечный вид формул для нахождения кратных
корней (даже для уравнений четвертой и пятой степеней).
1. Антипова, И.А. Рациональные выражения для кратных корней алгебраических
уравнений / И.А. Антипова, Е.Н. Михалкин, А.К. Цих // Математический сборник. – 2018. –
Т. 209, № 10. – С. 3–30.
2. D’Andrea, C. Subresultants in multiple roots / C. D’Andrea, T. Krick, A. Szanto //
Linear Algebra and its Applications. – 2013. – Vol. 438. – P. 1969–1989.
3. Gelfand, I. M. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants / I. M. Gelfand, M. M Kapranov, A. V. Zelevinsky. – Boston : Birkhäuser, 1994.
– 528 p.
2

3.

Наличие более одного кратного корня у полинома представляет
отдельную проблему.
В связи с развитием возможностей систем компьютерной
математики
стали
возможными
сложные
аналитические
преобразования, которые ранее не поддавались ручному счету.
Поэтому в XXI веке были получены новые результаты в
рассматриваемой области математики.
1. Чернявский, М. М. Модификация формул Эйткена и алгоритмы аналитического
нахождения кратных корней полиномов / М. М. Чернявский, Ю. В. Трубников // Веснік
Віцебскага дзяржаўнага ўніверсітэта. – 2021. – № 1 (110). – С. 13–25.
2. Трубников, Ю. В. О неполной факторизации полиномов / Ю. В. Трубников,
М. М. Чернявский, В. В. Юргелас // Вестник Воронежского государственного
университета. Серия: Физика. Математика – 2021. – № 2. – С. 86–94.
3. Трубников, Ю. В. Локализация и нахождение решений трехчленных
алгебраических уравнений / Ю. В. Трубников, М. М. Чернявский //
Математические структуры и моделирование. – 2020. – № 2 (54). – С. 65–85.
3

4.

на примере алгебраического уравнения
пятой
степени
провести
анализ
современных методов получения точных
аналитических формул для выражения
кратных
корней
полинома
через
коэффициенты.
4

5.

алгебраические
полиномы
над
полем
комплексных чисел, имеющие кратный корень.
методы алгебры и математического анализа с
использованием
системы
компьютерной
математики Maple 2019
5

6.

Пусть уравнения f z
n
ai z
n i
m
z b j z m j 0 (1)
0,
i 0
j 0
имеют общий корень. Необходимым и достаточным условием
этого свойства является равенство
S 1 , 2 ,
, n ; 1 , 2 ,
, m i j 0.
n
m
i 1
j 1
и j j 1 корни уравнений (1). Так как функция S
является симметричной функцией этих совокупностей корней, то
её можно представить в виде функции от коэффициентов
рассматриваемых полиномов.
i i 1
n
Выражение
m
R a0mb0n S a1 , a2 ,
, an ; b1 , b2 ,
, bm
называется результантом полиномов f и φ.
6

7.

Так как
z b0 z j ,
n
m
f z a0 z i ,
i 1
j 1
то результант можно представить в виде
R a 1 2
m
0
n 1
mn
b0n f 1 f 2
f m . (2)
Также результант можно представить в виде определителя
a0
R
a1
a0
an
a1
a0
b0
b1
b0
an
a1
bm
b1
b0
an
bm
b1
bm
m
n
Значение результанта многочлена и его первой производной прямо
пропорционально значению дискриминанта D
R f , f 1
n n 1 /2
a0 D.
7

8.

n
f z ai z n i ,
z f
i 0
k 1
m
z b j z m j .
j 0
Для полинома f произвольной степени n, имеющего корень z1
кратности k при условии, что остальные корни имеют меньшую
кратность, доказано, что справедливы следующие формулы:
z1
k R f , f k 1
b j 1 b kj 1
:
k R f , f k 1
b kj
j 1, , n 1 k . (3)
Принципиальным отличием является то, что частные производные
от результанта многочлена и его производной определенного порядка
в проекте берутся не по коэффициентам многочлена, а по
коэффициентам производной. Такое решение позволило получить
искомые формулы в более компактном виде.
8

9.

Корни для вычисления корня кратности 3 в случае уравнения пятой степени
f z z 5 a1z 4 a2 z 3 a3 z 2 a4 z a5 , z f z b0 z 3 b1z 2 b2 z b3.
При j = 2
3 R f , f 3 R f , f
z1
:
b j 1 b2j
b3j
j 1, 2, 3 .
20a12 a3a5 36a1a22 a5 7a1a2 a3a4 a1a33 180a1a4 a5 185a2 a3a5 26a32 a4 500a52
z1
;
2
2
2
3
3 24a1 a2 a5 4a1 a3a4 40a1a3a5 50a2 a5 8a2 a3a4 a3 200a4 a5
при j = 3
72a13a4 12a12 a2 a3 160a12 a5 256a1a2 a4 38a1a32 49a22 a3 400a2 a5 380a3a4
z1
.
3
2 2
2
3
2
3 32a1 a3 12a1 a2 72a1 a4 156a1a2 a3 49a2 180a2 a4 190a3
f z z 5 14 z 4 76 z 3 200 z 2 256 z 128 z 2 z 4 .
3
2
Обе эти формулы дают точное значение z1 2.
9

10.

Простейший пример для уравнения пятой степени
P z z 5 b1 z 4 b2 z 3 b3 z 2 b4 z b5 z z1 z z2 z z3 0.
2
Исследуется структура частных производных
дискриминанта G по коэффициентам полинома
2
второго
порядка
от
2G
2G
3
3
4
3
3
4
4 4
3 3
32
z
z
z
z
z
z
z
z
;
1
6
z
z
z
z
z
z
(
z
z
)
z
z
;
1
2
2
3
1
3
1
2
1
2
2
3
1
3
1
2
1
2
b12
b1 b2
2G
2G
3
3
4
3
3
4
3 3
2 2
32
z
z
z
z
z
z
z
z
;
1
6
z
z
z
z
z
z
(
z
z
)
z
z
;
1
2
2
3
1
3
1
2
1
2
2
3
1
3
1
2
1
2
b22
b2 b3
2G
2G
3
3
4
3
3
4
2 2
32 z1 z2 z2 z3 z1 z3 z1 z2 ;
16 z1 z2 z2 z3 z1 z3 ( z1 z2 ) z1 z2 ;
2
b3
b3 b4
2G
2G
3
3
4
3
3
4
32 z1 z2 z2 z3 z1 z3 z1 z2 ;
16 z2 z3 z1 z3 ( z1 z2 ) z1 z2 ;
2
b4
b4 b5
2G
3
3
4
32 z2 z3 z1 z3 z1 z2 .
2
b5
2G 2G
z12 z1 z2
: 2
2
b j b j 1
j 1, 4 ,
z1 z2
2G
2G
: 2
2
bk bk 1 bk 1
k 1, 4 .
10

11.

Теорема. Полином вида (4) представим в виде
P5 z z z1 z z2
3
2
4
тогда, и только тогда, когда
1
4 3 3
2
12
a
30
a
a1 a1a2 ;
1
2
135
25
5
1
1 4 7 2
4
a4
8a13 20a1a2
a1 a1 a2 a22 ;
225
375
25
15
1
53 5 13 3
4
a5
76a14 430a12 a2 600a22
a1
a1 a2 a1a22 .
5625
9375
375
75
a3
При этом
1
2
z1 a1 ;
5
3
1
z2 a1 ;
5
1
6a12 15a2 .
5
Аналогичные формулы получить для случая
P5 z z z1 z z2
4
11

12.

Пусть в уравнении
x n px m q 0
n m 0,
p 0, q 0
5 .
n – нечетное число, m – четное. Тогда если p, q – разных знаков и имеет
место одно из равенств
p
q
q
n/m
n m n
m n m
n/ m
p
, q
q
n/m
n m n
m n m
то уравнение (5) имеет двукратный действительный корень
и простой действительный корень [1].
n/m
,
pm
x
n
Аналогичные условия получены в [1] для остальных возможных
соотношений по четности n и m.
1. Трубников, Ю. В. Локализация и нахождение решений трехчленных
алгебраических уравнений / Ю. В. Трубников, М. М. Чернявский //
Математические структуры и моделирование. – 2020. – № 2 (54). – С. 65–85.
12
1
n m

13.

13