Числовые характеристики случайных величин

1.

ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН

2.

Математическое ожидание - (среднее значение) случайной
величины есть сумма произведений всех возможных ее значений
на вероятности этих значений.
Задача № 1.
Найти
математическое
ожидание
случайной
величины,
образующейся при бросании правильного однородного куба с
пронумерованными гранями 1,2,3,4,5,6.
Решение:

3.

1. Составим закон распределения:
Хi
1
2
3
4
5
6
Рi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
2. Воспользуемся формулой для расчета математического ожидания:
М х = х1 р1 +х2 р2 +х3 р3 +х4 р4 +х5 р5 +х6 р6 .
1
1
1
1
1
1 21
М х =1∙ +2∙ +3∙ +4∙ +5∙ +6∙ =
= 3,5
6
6
6
6
6
6
6
Ответ: М(х)=3,5
Задача № 2.
При изучении электрического сопротивления кожи до введения
атропина установлен закон распределения случайной величины:
Хi
Рi
5
0.1
7
0.3
8
0.1
10
0.2
12
0.3

4.

Найдите математическое ожидание случайной величины.
Решение:
1. Воспользуемся формулой для расчета математического ожидания:
М х = х1 р1 +х2 р2 +х3 р3 +х4 р4 +х5 р5 .
М х = 5 ∙ 0,1 + 7 ∙ 0,3 + 8 ∙ 0,1 + 10 ∙ 0,2 + 12 ∙ 0,3 =
=0,5+2,1+0,8+2+3,6=9
Ответ: М(х)=9.
Задача № 3.
При оценке жизненной емкости легких (Х,л) юных спортсменов были
получены следующие результаты Х1 = 1 при вероятности Р1 = 0,1; Х2 =
2 при вероятности Р2 = 0,2; Х3 = 3 при вероятности Р3 = 0,4; Х4 = 4
при вероятности Р4 = 0,2; и Х5 = 5 при вероятности Р5 = 0,1. Найдите
математическое ожидание данной случайной величины.
Решение:

5.

1. Составим закон распределения:
Хi
1
2
3
4
5
Рi
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
2. Воспользуемся формулой для расчета математического ожидания:
М х = х1 р1 +х2 р2 +х3 р3 +х4 р4 +х5 р5 .
М х = 1 ∙ 0,1 + 2 ∙ 0,2 + 3 ∙ 0,4 + 4 ∙ 0,2 + 5 ∙ 0,1 =
=0,1+0,4+1,2+0,8+0,5=
Ответ: М(х)=3.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Найти математическое ожидание случайной величины,
образующейся при бросании правильного однородного икосаэдра с
пронумерованными
гранями
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20.
2. Дан закон распределения значений физиологического показателя –
частоты сердечных сокращений у водителей до работы по данным
ЭКГ:

6.

Хi
Рi
61
0.1
73
0.3
78
0.3
82
0.2
90
0.1
Найдите математическое ожидание случайной дискретной величины.
3. При оценке функционального состояния тяжелоатлетов получили
следующие показатели частоты дыхания (дых/мин): Х1 = 9 с
вероятностью Р1 = 0,1; Х2 = 10 с вероятностью Р2 = 0,2; Х3 = 11 с
вероятностью Р3 = 0,3; Х4 = 12 с вероятностью Р4 = 0,3 и Х5 = 14 с
вероятностью Р5 = 0,1. Найдите математическое ожидание данного
показателя.

7.

Дисперсия случайной величины - это математическое
ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания.
Задача № 1.
Дан закон распределения значений физиологического показателя
(мышечная сила в кг) водителей после рабочего дня:
х
50
60
70
80
Р
0.3
0.3
0.3
0.1
Математическое ожидание этой случайной величины принимает
значение, равное 62. Определите дисперсию.
Решение:
М(х)=62 – по условию.

8.

Воспользуемся формулой для расчета дисперсии: