Теория вероятностей. Определение: Случайной величиной

1. Теория вероятностей

2.

.
Определение: Случайной величиной называется величина, которая в результате
опыта примет одно и только одно возможное значение, при этом заранее неизвестно,
какое именно.
Определение: Дискретной называют случайную величину, которая принимает
отдельные, изолированные значения.
Определение: Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее
возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми
случайная величина принимает эти возможные значения).
Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона
и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.
хi
Pi
х1
р1
х2
р2
...
...
хn
рn
Определение: Математическое ожидание ДСВ находится по формуле:
n
M ( Х ) xi pi
i 1
Определение: Дисперсия случайной величины Х есть
Д(Х ) М(Х )
2
( М ( Х ))
Для более наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться
величиной, имеющей размерность самой случайной величины.
Поэтому
вводится понятие среднего квадратического отклонения: ( Х ) Д ( Х )
2

3.

Пример. Построить ряд распределения случайной величины
числа выпадений орла при трех подбрасываниях монеты
-
Решение. Случайная величина
может принять четыре различных
значения: 0, 1, 2, 3. Найдем вероятности этих значений по формуле
Бернулли:
k
k
n k
Pn ( k ) C n p
q
x1 0
P X x1 C 30 1 / 2 1 / 2 1 / 8
x2 1
P X x 2 C 31 1 / 2 1 / 2 3 / 8
x3 2
P X x3 C32 1 / 2 1 / 2 3 / 8
x4 3
P X x 4 C 33 1 / 2 1 / 2 1 / 8
0
3
1
2
2
3
1
0
Следовательно, ряд распределения:
X
0
1
2
3
Р
1/8
3/8
3/8
1/8

4.

Пример: Случайная величина X задана функцией распределения.
Найти вероятность р3. Построить функцию распределения. Найти
числовые характеристики СВ
Решение:
Проверим тождество
x
p(x)
1
0,2
2
0,3
n
3
Р3
р 1.
i 1
i
0,2+0,3+р3+0,1=1.
р3=0,4.
Построим функцию распределения этой случайной величины. Имеем:
при х 1 F ( x) P( X x) P( ) 0;
при 1 х 2 F ( x) P( X x) P( X 1) 0,2;
при 2 х 3 F ( x) P( X x) P( X 1, X 2) 0,2 0,3 0,5;
при 3 х 4 F ( x) P( X x) P( X 1, X 2, X 3) 0,2 0,3 0,4 0,9;
при х 4
F ( x) P( X x) P( X 1, X 2, X 3, X 4) 0,2 0,3 0,4 0,1 1.
0,
0.2,
F ( x ) 0.5,
0.9,
1,
x 1;
1 x 2;
2 x 3;
3 x 4;
x 4.
4
0,1

5. Пример: Случайная величина X задана функцией распределения

.
x
1
p(x) 0,2
2
3
4
0,3
Р3
0,1
Найти вероятность р3. Найти числовые характеристики СВ
Решение:
Проверим тождество
n
р 1.
i 1
i
0,2+0,3+р3+0,1=1.
р3=0,4.
Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
n
M ( Х ) xi pi
i 1
.
.
М(Х)=1 0,2+2 0,3+3.0,4+4.0,1=0,2+0,6+1,2+0,4=2,4.
Для вычисления дисперсии применим формулу:
2
Д ( Х ) М ( Х ) ( М ( Х ))
2
М(Х2 )=12. 0,2+22.0,3+32.0,4+42.0,1=0,2+1,2+3,6+1,6=6,6.
2
2
2
Д ( Х ) М ( Х ) ( М ( Х )) 6,6 ( 2, 4) 0,84
(Х )
Д(Х )
0,84 0, 916.

6.

Пример. Два стрелка стреляют по мишени, делая по два выстрела каждый.
Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна
0,7, а для второго - 0,6. Построить ряд распределения случайной величины Х –
общего числа попаданий в мишень. Найти числовые характеристики этой
случайной величины.
Решение: СВ Х - общее число попаданий в мишень может быть: х1=0, х2=1,
х3=2, х4=3, х5=4.
х1=0. когда произойдет событие С - ни один из стрелков не попал в мишень.
Событие С произойдет в том случае, если одновременно произойдут
следующие четыре события:
А1 - 1-й стрелок не попал в мишень при первом выстреле;
А2 - 1-й стрелок не попал в мишень при втором выстреле;
В1 - 2-й стрелок не попал в мишень при первом выстреле;
В2 - 2-й стрелок не попал в мишень при втором выстреле.
С= А1 .А2 .В1 .В2.
P (С)=Р(А1).Р(А2).Р(В1).Р(В2)
Р(А1) =Р(А2)=1-0,7=0,3;
Р(В1 )=Р(В2)=1-0,6=0,4
Р(Х=0)=Р(С)=0,3 .0,3 .0,4 .0,4=0,0144.

7.

Аналогично подсчитываем и другие вероятности:
Р(Х=1)=0,7.0,3.0,4 .0,4+0,3.0,7.0,4 .0,4+0,3.0,3.0,6.0,4+0,3.0,3.0,4 .0,6=0,1104.
Р(Х=2)=0,7.0,7.0,4 .0,4+0,3 .0,3 .0,4 .0,4+4 .(0,7 .0,3 .0,6 .0,4)=0,3124.
Р(Х=3)=0,3.0,7.0,6.0,6+0,7.0,3.0,6.0,6+0,7.0,7.0,4.0,6+0,7.0,7.0,6.0,4==0,3864.
Р(Х=4)=0,7 .0,7 .0,6 .0,6=0,1764.
Составим ряд распределения случайной величины Х.
хi
0
Pi
0,0144
Проверим тождество
1
2
3
4
0,1104 0,3124 0,3864 0,1764
n
pi 1
i 1
0,0114+0,1104+0,З124+0,3864+0,1764 =1.

8.

Пример. Закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:
xi
-2
-1
0
1
2
pi
0,2
0,1
0,2
Р4
Р5
Найти вероятности р4 , р5 и дисперсию D(X ) , если математическое ожидание
M (X ) = 0,1
Решение: случайная величина X может принимать только пять значений,
соответствующие события образуют полную группу, поэтому:

9.

10.

Пример Случайная величина X задана функцией распределения.
Найти вероятность р4. Построить функцию распределения. Найти
числовые характеристики СВ
Решение:
Проверим тождество
x
2
4
10
6
8
p(x)
0,1
0,4
0,1
Р4
0,1
n
р 1.
i 1
i
Пример. Случайная величина подчиняется закону распределения
x
1
2
3
4
5
p(x)
0,1
0,3
0,15
Р4
0,2
Найти вероятность р4.Найти числовые характеристики СВ Х.