Тождественные преобразования тригонометрических выражений

1.

2. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

3.

Тождественные преобразования тригонометрических
выражений опираются на следующие основные
формулы:
Формулы для тригонометрических функций одного и
того же аргумента.
Формулы сложения аргументов.
Формулы двойного угла.
Формулы половинного аргумента.
Формулы преобразования суммы(разности)
тригонометрических функций в произведение.
Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму( разность).
Формулы приведения.

4. ЗНАКИ Sin, Cos, Tg, Ctg.

Знаки sin
Знаки cos
y
+
y
y
+
-
-
-
+
x
-
Знаки tg, ctg
+
x
-
+
x
+
-

5.

2
cos( 45 ) cos 45
2
0
0
tg ( 60 ) tg 60 3
0
0
2
sin 405 sin( 360 45 ) sin 45
2
0
0
0
0
2
sin( 2 45 ) sin 45
2
2
sin( 765 ) sin 765 sin( 2 360 45 ) sin 45
2
0
0
3
sin( ) sin
3
3
2
0
0
0

6.

ctg ( ) ctg 3
6
6
17
16
tg
tg (
) tg (4 ) tg 1
4
4
4
4
4
13
12
ctg (
) ctg (
) ctg (2 ) ctg 3
6
6
6
6
6
25
25
24
3
cos(
) cos
cos(
) cos
6
6
6
6
6
2

7.

2
sin 2 1 cos 2
sin
2. tg
cos
cos 1 sin
cos
ctg
sin
1. sin cos 1
2
2
3. tg ctg 1
1
4. 1 tg
cos 2
2
1
5. 1 ctg
2
sin
2
2
1
1
tg
; ctg
ctg
tg

8.

3
3
sin ,
5
2
Вычислить tg
Дано:
3 2
9
16
cos 1 sin 1 ( ) 1
;
5
25 25
4
4
cos
или cos ,
5
5
так как по условию III четверти,
2
2
а cos 0 в III четверти,
4
то берем cos ,
5
3
4
3
тогда tg ( )
5
5
4

9.

sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
tg tg
tg ( )
1 tg tg
tg tg
tg ( )
1 tg tg

10.

Пример 1. Вычислить cos18 cos12 sin 18 sin 12
cos18 cos12 sin 18 sin 12 cos(18 12 )
3
cos 30
2

11.

3
3
cos cos
sin
Пример 2. Вычислить sin
4
12
4
12
3
3
3
sin
cos cos
sin
sin(
)
4
12
4
12
4 12
5
6
10
sin(
)
sin
sin
6
6 6
12
1
sin( ) sin
6
6 2

12.

cos 4 cos sin 4 sin
Пример 3. Упростить:
sin 3
cos( 4 )
cos 4 cos sin 4 sin
sin 3
sin 3
cos 3
ctg 3
sin 3

13. Пример 1

Вычислить : sin 75
sin 75 sin( 30 45 )
sin 30 cos 45 cos 30 sin 45
1 2
3 2
2 2
2 2
2
6
4
4
2 6
4

14. Пример 2

Вычислить : cos15
cos15 cos( 45 30 )
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3
2 1
2 2
2 2
6
2
4
4
6 2
4

15.

Формулы двойного угла
sin 2 2 sin cos
Примеры:
sin 4 x 2 sin 2 x cos 2 x
sin 2 sin cos
2
2
2 sin 100 cos100 sin 200
cos 2 cos 2 sin 2
Примеры:
cos1000 cos 2 500 sin 2 500
cos 8 cos 2 4 sin 2 4
cos 2 250 sin 2 250 cos 500

16.

Формулы двойного угла
Упростить:
sin 800
2 sin 400 cos 400
0
sin
40
2 cos 400
2 cos 400
(cos
8
sin
8
)(cos
8
sin
8
) cos 2
8
sin 2
8
cos 2
8
cos
4

17. Литература

Богомолов, Н. В. Математика : Учебник Для
СПО . – 5-е изд, пер. и доп . – Электрон. дан. –
Москва : Издательство Юрайт, 2019 . – 401 . –
(Профессиональное образование) . – Режим
доступа : https://www.biblioonline.ru/bcode/449006, https://www.biblioonline.ru/book/cover/C1F70676-5BA4-4DC0A21D-2F37D63DDC1D . – Internet access . Режим доступа: https://www.biblio-online.ru . –
На рус. яз.