Преобразование тригонометрических выражений

1. Преобразование тригонометрических выражений

2. Синус и косинус разности аргументов

sin( x y ) sin x cos y cos x sin y
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y

3. Пример 1

Вычислить : sin 75
sin 75 sin( 30 45 )
sin 30 cos 45 cos 30 sin 45
1 2
3 2
2 2
2 2
2
6
4
4
2 6
4

4. Пример 2

Вычислить : cos15
cos15 cos( 45 30 )
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3
2 1
2 2
2 2
6
2
4
4
6 2
4

5. Пример 3

Вычислить : sin 48 cos12 cos 48 sin 12
sin 48 cos12 cos 48 sin 12
3
sin( 48 12 ) sin 60
2

6. Тангенс суммы и разности аргументов

tgx tgy
tg ( x y)
1 tgx tgy
tgx tgy
tg ( x y )
1 tgx tgy

7. Котангенс суммы и разности аргументов

ctgx ctgy 1
ctg ( x y )
ctgx ctgy
ctgx ctgy 1
ctg ( x y )
ctgx ctgy

8. Пример 1

Вычислить : tg 75
tg
30
tg
45
tg 75 tg (30 45 )
1 tg30 tg 45
1 3
1
1
3 1 3 : 3 1 1 3 3 1 3
3
1
3 1
3
3
3
3 1
3 1
1
1
3
3

9. Формулы двойного аргумента

sin 2x 2 sin x cos x cos 2 x cos x sin x
2
2tg x
tg 2 x
1 tg 2 x
2
ctg x 1
ctg 2 x
2ctgx
2

10. Пример 1

Доказать тождество : 1 sin 2 x (cos x sin x) 2
Л.ч. 1 sin 2x sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x
sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x (sin x cos x) 2 П.ч.

11. Пример 2

1
sin
2
x
дробь
:
Сократить
cos 2 x
2
2
sin x cos x 2 sin x cos x
1 sin 2 x
2
2
cos 2 x
cos x sin x
(sin x cos x)
sin x cos x
(cos x sin x) (cos x sin x) cos x sin x
2

12. Пример 3

Вычислить : cos
cos
2
8
sin
2
2
8
sin
2
8
cos( 2 ) cos
8
8
4
2
2

13. Пример 4

Доказать тождество :
2
tgx ctgx
sin 2 x
sin x cos x sin x cos x
Л .ч. tgx ctgx
cos x sin x
cos x sin x
2
2
1
2
2
П.ч.
cos x sin x 2 cos x sin x sin 2 x

14.

Разложение суммы и разности на
множители
x
y
x
y
sin x sin y 2 sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2 sin
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
sin
cos x cos y 2 sin
2
2

15.

Формулы представления
произведения в виде суммы
cos( x y ) cos( x y )
sin x sin y
2
cos( x y ) cos( x y )
cos x cos y
2
sin( x y ) sin( x y )
sin x cos y
2

16.

Пример 1
Преобразуйте произведение в сумму sin 5x cos 3x
sin 8 x sin 2 x
sin( 5 x 3 x) sin( 5 x 3x)
sin 5x cos 3x
2
2

17.

Пример 2
Преобразуйте произведение в сумму sin 27 sin 57
cos( 27 57 ) cos( 27 57 )
sin 27 sin 57
2
cos( 30 ) cos 84
2
3
cos 84
2
2