Простейшие математические операции в КГ. Преобразования на плоскости

1.

Простейшие
математические
операции в КГ.
Преобразования на
плоскости

2.

Исторический экскурс
3 сентября декабря – день комп. графики (3December)

3.

Исторический экскурс
1950-е годы: от текстовых изображений к графической консоли

4.

1950-е годы
1950, Бенджамин Лапоски, рисунки на осциллографе

5.

1950-е годы
1952, Александр Дуглас, игра ОХО для компьютера EDSAC

6.

1950-е годы
1955, IBM???, световое перо

7.

1950-е годы
1957, Расселл Кёрш, барабанный сканер для компьютера SEAC,
первая в мире цифровая фотография

8.

1950-е годы
1958, MIT, Lincoln TX-2, графическая консоль

9.

1950-е годы
1958, Джон Уитни, предиктор Керрисона, заставка к фильму
Хичкока «Головокружение»

10.

1960-е годы: от "Альбома" к
мультипликации
1960, Уильям Феттер, Boeing Aircraft, термин «компьютерная
графика»

11.

1960-е годы
1962, Стив Рассел, Spacewar! для компьютера DEC PDP-1

12.

1960-е годы
1963, Айван Сазерленд, Sketchpad для TX-2

13.

1960-е годы
1963, Кен Ноултон, BeFlix – первый язык КГ
1965-1971, Стэн Вандербик, Poem Field
1967, университет Юты, НИИ КГ
1968, Evans&Sutherland
Эдвин Кэтмелл, Disney Pixar
Джон Уорнок, Adobe Systems, PostScript
Джеймс Кларк, Silicon Graphics, Netscape
1968, Николай Константинов, «Кошечка»

14.

Алгебраическое изображение точек

15.

Матричные операции. Определения.
Матрица
Порядок матрицы
Главная диагональ
Нулевая матрица
Единичная матрица

16.

Сложение и вычитание матриц
cij aij bij , i 1..n; j 1..m

17.

Умножение матриц
A[k * m1], B[m2 * n], m1=m2 → A * B = C[k * n]
m
cij aik bkj
k 1
A B B A

18.

Определитель квадратной матрицы
n
A 1 aij Aij
i j
j 1
Aij – алгебраическое дополнение матрицы A (матрица (n-1)*(n-1),
получаемая путем вычеркивания из матрицы А элементов i-ой
строки и элементов j-ого столбца)

19.

Определитель квадратной матрицы
a11
A
a21
a11
A a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a 33
a12
,
a22
A a11a22 a21a12
A a11 a22 a33 a32 a23 a12 a21a33 a31a23
a13 a21a32 a31a22

20.

Обращение квадратной матрицы
1
АТ = В → T A
B , А-1 — обратная к А
A11
1 A21
1
A
A
An1
A12
A22
An 2
A1n
A2 n
T
Ann
T – операция транспонирования(строки – в столбцы, столбцы – в
строки)

21.

Обобщение сути задач КГ
Интерпретация матричного умножения как геометрического
оператора является основой математических преобразований,
используемых в машинной графике.
x
a b
y
ax cy
c d
bx dy x
*
y
*

22.

Преобразование точек
x
1 0
y
x
0 1
y x
x
a 0
y
ax
0 1
y x
a>1 – увеличение масштаба,
0<a<1 – уменьшение масштаба,
а<0 – отображение по оси у
*
y
*
*
y
*

23.

Преобразование точек

24.

Преобразование точек

25.

Преобразование прямых линий

26.

Преобразование середины отрезка

27.

Преобразование параллельных линий

28.

Преобразование пересекающихся
линий

29.

Вращение вокруг начала координат
90 градусов
180 градусов
270 градусов

30.

Отображение
Ось y=x
Ось y=0

31.

Изменение масштаба
Изменение масштаба
определяется значением двух
членов основной диагонали
матрицы.
a=d – масштабирование
a<>d – масштабирование с
искажением

32.

Произвольная матрица вращения

33.

Однородные координаты и двумерное
смещение
x
1 0 0
y 1 0 1 0 x m
m n 1
y n 1 x
*
y
*
1
x
x ,
h
*
y
y
h
*
Представление n-мерного вектора
(n+1)-мерным называется
однородным координатным воспроизведением; координаты x, y, h однородными координатами.

34.

Однородные координаты и двумерное
смещение
Все преобразования матрицей 2 2 (вращение, отображение,
покоординатное масштабирование, смещение) реализуются в
однородных координатах с помощью матрицы:
a b
c d
0 0
0
0
x
y
1 x h ax cy, y h bx dy
a b 0
x y 1 c d 0 ax cy bx dy 1 x
0 0 1
*
*
y
h

35.

Общий вид матрицы преобразования
3х3
a b
c d
m n
p
q
s
a, b, c, d – масштабирование, сдвиг и
вращение
m, n – перенос(двумерное смещение)
p, q, s – ???

36.

Полное изменение масштаба
x
x
*
1 0 0
y 1 0 1 0 x
0 0 s
y
y x / s
y / s
*
s
s>1 – уменьшение, s<1 – увеличение
Аналогично использованию двумерной матрицы
1 / s 0
0 1 / s

37.

Получение проекций
1 0 p
y 1 0 1 q x
0 0 1
x
y
px qy 1
Переменная H – уравнение плоскости в трёхмерном
пространстве
x
*
x
y
px qy 1
*
y
px qy 1