Множества и функции (лекция 1)

1. Тема 1.1. Множества и функции

Математический анализ I-II

2. Множества: основные понятия, определения и обозначения

Понятие множества, как и числа, является первичным в математике и через
другие понятия не определяется. Оно используется для элементов,
обладающих одинаковыми свойствами.
Множества принято обозначать заглавными буквами латинского
алфавита: A, B, C, …. X, Y. Элементы множеств – малыми буквами: a, b, c,
…, x,y.
Если а является элементом множества А, то это обозначается:
a A
Если а не является элементом множества А, то это обозначается:
a A

3. Равные множества. Способы задания множеств

4. Подмножества

5. Операции над множествами

6. Операции над множествами

A B 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 ;
A \ B 1, 2, 4, 7 ;
A B 3 ;
B \ A 5, 9 .

7. Числовые множества

.
N Z Q R С

8. Геометрическая интерпретация действительных чисел

x R x ;
используют обозначение:

9. Основные виды промежутков на множестве действительных чисел

10.

Окрестностью точки x 0 называется любой интервал a; b ,
содержащий в себе точку x 0 .
- окрестностью точки x 0 называется интервал x 0 , x 0 ,
где 0 .
Запись x x 0 означает попадание точки x в -окрестность
точки x 0 .

11.

https://zen.yandex.ru/media/id/5d75690bc7e50c00ade547b8/razvodi
m-poniatiia-maksimalnyiminimalnyi-element-granica-i-granmnojestva-5eb731de948eef66e4bbdacc

12. Абсолютная величина действительного числа и её свойства

13. Абсолютная величина действительного числа и её свойства

14.

Абсолютная величина действительного числа и её свойства

15. Функция. Основные понятия.

Понятие функции
Основные характеристики функции
Основные элементарные функции
Сложная функция
Элементарные функции
Алгебраические и трансцендентные функции

16. Понятие функции

При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а,
следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение
одной величины в зависимости от изменения другой.
Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус
формулой S = πr2.
Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S
также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной
переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой
области, соответствует одно определенное значение другой
переменной y, то y есть функция от х.
y = f(x)
зависимая переменная или
функция
независимая переменная или
аргумент

17. Понятие функции

Совокупность значений x, для которых определяются значения y в
силу правила f(x) называется областью определения (областью
существования) функции: D(f)
Совокупность значений y называется множеством значений функции:
Е(f)
Способы задания функции:
1) Табличный.
При этом способе выписываются в определенном
порядке значения аргумента и соответствующие им
значения функции.
x
x1
x2
…
xn
у
y1
y2
…
yn

18. Понятие функции

2) Графический.
y
М (х; у )
y
0
х
х
Совокупность точек
плоскости XOY, абсциссы
которых являются
значениями независимой
переменной, а ординаты –
соответствующими
значениями функции,
называется графиком
функции
y = f(x).
3) Аналитический:
Функция y = f(x) задана аналитически , если f - обозначает
действия, выполняемые над переменной, например:
y x2 5

19. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется четной, если
для любого x, принадлежащего D выполняются условия: -x также
принадлежит D и f(-x ) = f(x).
x D
x D :
f ( x ) f ( x )
Функция y = f(x) определенная на множестве D,
называется нечетной, если:
x D
x D :
f ( x ) f ( x )
График четной функции симметричен относительно оси OY
График нечетной функции симметричен относительно точки O(0; 0)
y
y
3
y x
y x2
0
0
х
х

20. Основные характеристики функции

Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть
D D (множество D1 является подмножеством множества D)
1
Если
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
y
то функция называется возрастающей.
Если
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f(x12 )
f(x21 )
Из неравенства x1 < x2
неравенство
Если x , x D ; x x f ( x ) следует
f
(
x
)
x1
1
2
1
1
2
1
2f(x ) <0f(x )
1
2
то функция называется неубывающей.
то функция называется убывающей.
Если
xx22
x1, x2 D1; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
то функция называется невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции
называются монотонными на множестве D1, интервал, на котором функция
монотонна называется интервалом монотонности.
х

21. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется ограниченной,
если
M 0 : x D f ( x ) M
Существует такое число М
График ограниченной функции лежит между прямыми:
y = - M и y = M.
y
М
0
-М
х

22. Основные характеристики функции

Функция y = f(x) определенная на множестве D, называется
периодической, если
x T D
T 0 : x D
f ( x T ) f ( x )
Число Т называется периодом
функции.
Если Т – период функции, то ее
периодами будут также числа 2Т,
3Т и так далее.
Наименьшее положительное число Т,
удовлетворяющее условию:
f(x +T) = f(x), называется основным
периодом
y
Т
х
0
2Т

23. Основные элементарные функции

1)
Линейная функция:
y kx b
y
2) Степенная функция:
y x
четное
n a
a 11
0 a 1
n
нечетное
2
2
1
1
1
3) Показательная функция:
x
2 2 k tg
y a
a 0; a 1
-1-1 0 1 1 1
х
b2
4) Логарифмическая функция:
-1 -1
2
2
2
2
y log x a 0; a 1; x 0
n
a
5) Тригонометрические функции:
y tg x
6)
y sin x
0 a 1
y cos x
y ctg x
Обратные тригонометрические функции:
y arcsin x y arccos x y arctg x
y arcctg x

24. Сложная функция

Если y является функцией от u, а u в свою очередь зависит от переменной
x, то y также зависит от x.
)(x) u (x )
y F (u
Сложная функция
Пример:
y cos u
y cos x
u x
Областью определения функции y F (x )
является или вся
область определения функции u(x) или та ее часть, в которой
определяются значения u, не выходящие из области определения функции
F(u).
Пример:
y log2 x
x 0
x 0
x 1
log2 x 0 x 1

25. Элементарные функции

Элементарной функцией называется функция, которая может быть
задана одной формулой вида y = f(x), где справа стоящее выражение
составлено из основных элементарных функций и постоянных при
помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения,
деления и взятия функции от функции.
lg x 4 cos x 5
y
10 x x
2
Пример:

26. Алгебраические и трансцендентные функции

К числу алгебраических функций относятся элементарные функции
следующего вида:
1) Целая рациональная функция или многочлен:
y a0 x n a1x n 1 an
2) Дробная рациональная функция – отношение многочленов:
Целое неотрицательное
n
n 1
aКоэффициенты
x
a
x
aчисло
0
1
n
– степень
y многочлена
– 1
m
m
bпостоянные
x b1x числа
bm многочлена
0
3) Иррациональная функция:
Если в формуле y = f(x) в правой части производятся операции
сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с
рациональными нецелыми показателями, то функция y = f(x)
называется иррациональной
Пример:
y x 5 3 x4 2
Функция, не являющейся алгебраической, называется
трансцендентной: y = cos x; y = ln x и так далее.