Задача з трикутником

1.

В трикутнику АВС, один з кутів якого
дорівнює
48 ,
довжини сторін задовольняють співвідношення
(а с)( а с) вс(а с) ав .
2
2
Виразіть у градусах величини двох інших кутів цього трикутника

2.

(а с)(а с) вс(а с) ав
2
Виконаємо заміну а +с =t , t > 0 і отримаємо
квадратне рівняння :
(а с)t всt ав 0
2
2
2

3.

(а с)t всt ав 0
2
2
Д (вс) 4(а с)( ав )
2
2
в с 4а в 4ав с
2 2
2 2
2
4а в 4ав с в с
2 2
(2ав вс)
2
2
2 2

4.

Д (2ав вс) 2ав вс
2
t
1, 2
вс 2ав вс
2(а с)

5.

вс 2ав вс 2ав 2вс 2в (а с)
t1 2(а с) 2(а с) 2(а с) в,
але
а с в
неможливо для трикутника АВС.

6.

вc (2ав вс) вс 2ав вс 2ав ав
t 2 2(а с) 2(а с) 2(а с) с а
оскільки t >0 , ав >0 , то с-а>0 , отже с > а
ав
а с
, тому
с а
.
с 2 а 2 ав

7.

За теоремою косинусів
для
АВС
а в с 2всСоsА
2
2
2
2всСоsА в с а
2
2всСоsА = в ав
2
2
2всСоsА= в ( в +а ),
,
.
2сСоsА = в +а ,
а в
СоsА =
2с
2

8.

З рівності с 2 а 2 ав,
а в
тому
СоsА =
с а 2 ав ,
2 а 2 ав
2
(
а
в
)
а в
2
Cos А
4а ( а в )
4а
а в 1 в
2Соs А
, (1)
2а
2 2а
,
2
,

9.

За теоремою косинусів :
с а в 2авСоsC,
2
2
2
с а в 2авСоsС ав,
2
2
2
2авCosC в
в 1
CosC
, (2)
2а 2
2
ав

10.

Віднімемо почленно (1) –(2) та отримаємо :
2Соs А СоsС 1,
2
2Соs А 1 СоsС,
2
1+ Соs2А = 1 + СоsС,
Соs2А = СоsС
С 2 А

11.

АВС
За умовою один із кутів
дорівнює 48 , тому
розглянемо три
випадки :
1) А 48 , то С 96 , В 36 .
,
2) В 48 , то А С 180 48 132 .
А 2 А 132
3 А 132
А 44

12.

С 2 44
88
3) С 48 , то А 24 , В 180 (48 24 ) 108 .
Відповідь:
А 48 , В 36 , С 96
А 44 , В 48 , С 88
А 24 , В 108 , С 48