Similar presentations:
Перпендикулярность прямой и плоскости
1.
2. Перпендикулярные прямые в пространстве
• Две прямые в пространстве называютсяперпендикулярными(взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 90°.
• Обозначается a ┴ b
• Перпендикулярные прямые могут пересекаться и
могут быть скрещивающимися.
c
а
b
3. Лемма (о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой)
• Если одна из двух параллельныхпрямых перпендикулярна к третьей
прямой, то и другая прямая
перпендикулярна к этой прямой.
4. Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой
прямой.а
b
c
M
C
A
Дано: а // b, а ┴ с.
Доказать: b ┴ с.
Доказательство:
Через произвольную точку
пространства М проведём:
МА и МС, параллельные
соответственно прямым а и с. Т.к. а
┴ с, то ĹАМС = 90°.
По условию а // b, по
построению а//МА => b//МА => b ┴ с.
Ч.т.д.
5. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
• ОпределениеПрямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к
любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Обозначается: а ┴ α
Говорят
также,
что
плоскость
перпендикулярна к прямой а
6.
Определение. Прямая называется перпендикулярной кплоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a
a
7.
Канат в спортивном залеперпендикулярен
плоскости пола.
8.
9. Примеры из окружающей обстановки
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямыхперпендикулярна к плоскости, то и другая прямая
перпендикулярна к этой плоскости.
a
a
a1
19.
Обратная теорема.Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то
они параллельны.
a
a
b
b
a II b
20.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то
она перпендикулярна к этой плоскости.
a
p
a p,
p
q
a q,
a
21.
Чтобы установить перпендикулярностьпрямой и плоскости достаточно проверить
перпендикулярность лишь к двум прямым,
лежащим в плоскости.
22.
Теорема 2Через любую точку пространства проходит
прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и
притом только одна.
β
М
b
а
α
с
Дано: α; М α
Доказать:
1) ∃ с, с α, М с;
2) с – !
Доказательство:
23. Перпендикуляр и наклонные
М αМН α
Н α
А α
В α
М
АН и ВН – проекции
наклонных
МН – перпендикуляр
α
Н
А
МА и МВ – наклонные
В
24. Теорема о трех перпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основаниенаклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна к самой наклонной.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а НМ, М а
Доказать: а АМ
Доказательство:
25.
Теорема, обратная теореме о трехперпендикулярах
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна
и к ее проекции.
А
α
Н
β
а
М
Дано: а α, АН α,
АМ – наклонная,
а АМ, М а
Доказать: а НМ
Доказательство: