Операції над множинами

1.

ЛЕКЦІЯ
на тему:
“Операції над множинами”
П Л А Н.
1. Поняття множини, її елементів та
підмножин.
2. Основні операції над множинами
(класами).
3. Основні закони операцій над множинами.

2.

ЛІТЕРАТУРА
1. Гетманова А. Д. Логика. – М., 2007. – с. 79
– 88
2. Кирилов В. И., Старченко А. А. Логика. –
М., 1995. – с. 60-62
3. Мельников В. Н. Логические задачи. – К.,
1989. – с. 5 – 11; 16 – 20; 28 – 31.

3.

1. Поняття множини, її елементів та
підмножин.
Множина є будь-яке зібрання певних і різних між
собою об’єктів нашої уяви або мислення, які
уявляються як єдине ціле. Суттєвим є те, що зібрання
предметів розглядається як один предмет (мислиться
як одне ціле). Множина в логіці – це “абстрактний
об’єкт”.
Предмет, що належить даній множині, називають
її елементом. Елемент множини позначають зазвичай
– x, y, z …, а самі множини – А, В, С,…

4.

Окремо виділяють, по-перше, універсальну множину,
тобто таку множину, яка складається з усіх елементів
досліджуваної предметної області (позначаємо літерою
U (лат. univérsus – весь ), а в геометричній
інтерпретації зображається множиною точок всередині
деякого прямокутника), по-друге, порожню множину,
тобто множину, яка не містить в собі жодного елемента
(позначаємо символом ).
Будь-яку
частину
даної
множини
називають
підмножиною.
Повну і порожню частини називають невласними
підмножинами. Всі інші підмножини є власними.
Знаком позначається відношення включення
множини, тобто А В (“множина А включена в В”)
означає, що кожен елемент множини А є елементом
множини В. При цьому А називають підмножиною, а В
– надмножиною.

5.

2. Основні операції над множинами (класами).
В множині всіх можливих підмножин універсальної
множини (включно та U) визначимо чотири
операції: доповнення, перетин, об’єднання та
різницю.
Доповненням множини А (позначається А або А ,
читається “не – А”) називають множину, що
складається з усіх тих і тільки тих елементів U, які
не належать множині А.
Перетином множин А та В (позначається А В,
іноді АВ; читається: “перетин А та В” або “А і В”)
називається множина, що містить в собі ті і тільки
ті елементи, які належать як множині А, так і
множині В.

6.

Об’єднанням множин А та В (позначається А В,
читається: “об’єднання А з В” або “А або В”)
називається множина, що складається з тих і тільки
тих елементів, які належать принаймні одній з
множин А або В.
Різницею множин А та В (А В або А – В)
називається множина, що складається з тих і тільки
тих елементів множини А, які не належать множині
В.
Над множинами, отриманими в результаті описаних
операцій, можна в свою чергу здійснювати ті ж самі
операції. Так, можна утворити доповнення перетину
(А В), об’єднання (А В) або різниці (А
В); можна утворити перетин об’єднань (А В) (C
D) або об’єднання перетинів АВ CD і т. д.

7.

3. Основні закони операцій над множинами.
Розглянуті нами операції над множинами
підлягають деяким (доволі простим) правилам або
законам. Основними з них є такі:
1. Закон тотожності: А=А.
2. Закон суперечності: А А= .
3. Закон виключеного третього: АU А = U.
Ці три закони вважаються – вираженням мовою
булєвої алгебри множин – основних законів мислення.
4. Закон ідемпотентності (лат. ideme – те саме,
potentia – сила, того ж самого ступеня):

8.

для перетину А А ... А=А;
для об’єднання А А ... А=А.
5. Комутативний (лат. commúto – перемінювати,
обмінювати) закон:
для перетину А В=В А;
для об’єднання А В=В А.
6. Асоціативний (лат. associatio – об’єднання) закон:
для перетину (А В) С=А (В С);
для об’єднання (А В) С=А (В С).
7. Дистрибутивний (лат. distributio - розподіляти)
закон:
А (В С)=АВ АС;
А ВС=(А В) (А С).
8. Закон поглинання:
А(А В)=А;
А АВ=А.

9.

9. Якщо деяку непорожню множину А перетинати і
об’єднувати з U та , то ми отримаєм такі чотири закони:
9.1. А U=A;
9.2. А U=U;
9.3. A = ;
9.4. A
10. Закон де Моргана (Morgan Огастес де (1806 – 1871) –
шотландський математик та логік, основоположник
логічного аналізу відношень):
для доповнення перетину (А В) = А В;
для доповнення об’єднання (А В) = А В.

10.

11. Закон подвійного доповнення (заперечення):
А = А; (А В) = А В.
12. Ясно також, що доповненням U є , а
доповненням є U:
12.1. U = ;
12.2. = U.
Названі закони застосовують з метою перетворення
одних виразів в інші, зокрема для мінімізації
(спрощення) виразів.

11.

ВИСНОВОК
Розглянуті нами операції над множинами:
об’єднання, перетин, доповнення та різниця є
важливим інструментом отримання нових
множин і знань про них, що дозволяє
здійснювати такі логічні дії над множинами або
класами предметів. Ці операції є ефективними
інструментарієм пізнавальної та практичної
діяльності юриста та оперативного працівника.