Электростатика (продолжение)

1. Электростатика (продолжение)

Лекция 2

2. План

CEE
Поток вектора напряженности
электростатического поля.
Теорема Остроградского ─ Гаусса.
Применение теоремы Остроградского
─ Гаусса для расчета электрических
полей.

3. Поток вектора напряженности

CEE
Рассмотрим
простейший
случай
однородного
поля
(напряженность Е которого одинакова во всех точках
пространства), которое пронизывает некоторую плоскую
поверхность площади S.
Тогда скалярное произведение
будет
называться
потоком
вектора напряженности через
поверхность S:
ФЕ ES ES cos En S
(1)
где
- есть вектор, равный произведению величины площади
на нормаль к этой поверхности, Еn - проекция вектора напряженности
на нормаль к площадке.

4.

Поток вектора напряженности
CEE
Ориентация в пространстве
площадки
характеризуется
перпендикулярным
к
ней
вектором нормали .
При этом сторона площадки, из
которой
выходит
нормаль,
называется положительной, а
противоположная
сторона
–
отрицательной.
Выбор положительного направления нормали условен.
Если площадка ограничивает некоторый объем, то нормаль
обычно направляют наружу по отношению к этому объему.

5. Поток вектора напряженности

CEE
dS
В общем случае поле может быть
неоднородным,
поверхность
неплоской.
В
этом
случае
поверхность можно мысленно
разбить на бесконечно малые
элементарные
площадки
dS,
которые
можно
считать
плоскими, а поле вблизи них
однородным.
В таком случае поток
элементарную площадку
dФЕ EdS EdS cos En dS
через
(2)

6.

Поток вектора напряженности
CEE
Полный поток вектора напряженности
через поверхность S
ФЕ dФЕ EdS EdS cos En dS
S
S
S
B 2
ФЕ м B м
м
S
(3)

7.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Эта теорема позволяет определить
поток вектора напряженности через
произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находятся
электрические заряды.

8.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Найдем
поток
вектора
напряженности электрического поля, создаваемого
точечным зарядом q, через
сферическую поверхность
радиуса r.
Площадь ее поверхности S=4 r2.
Согласно (3),
можно записать:
ФЕ EdS cos α En dS
S
S

9.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Силовые линии электрического поля идут по радиусам к
поверхности сферы и поэтому угол между вектором
напряженности и нормалью равен нулю (cos = 1).
Следовательно,
ФЕ En dS EdS
S
Используя формулу
напряженности поля
точечного заряда
S
1 q
E
2
4π 0 r
и, учитывая, что в силу сферической симметрии E = const, можно
записать :
(4)
ФЕ E dS ES
S
q
4 0 r
2
S
q
4 0 r
4 r
2
2
q
0

10.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой
формы.
Так, если окружить сферу
произвольной замкнутой поверхностью,
то
каждая
линия
напряженности, пронизывающая
сферу, пройдет и сквозь эту
поверхность.

11.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Если замкнутая поверхность
не охватывает заряда, то поток
сквозь нее равен нулю, т.к.
число линий напряженности,
входящих
в
поверхность,
равно числу линий напряженности выходящих из нее.

12.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Рассмотрим
поток,
создаваемый
системой зарядов, сквозь замкнутую
поверхность произвольной формы,
внутри которой они находятся.
ФЕ EdS
S
Согласно принципу суперпозиции
E E1 E2 ...En

13.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Поэтому ФЕ EdS E1dS E2 dS ... En dS
S
S
S
S
n
q1
0
q2
0
...
qn
0
q
i 1
0
i

14.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
n
q
i
i 1
ФЕ EdS
S
(5)
0
Математическое выражение теоремы
Остроградского – Гаусса

15.

Теорема Остроградского ─ Гаусса
CEE
Поток
вектора
напряженности
электростатического
поля
через
произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме
зарядов, расположенных внутри этой
поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

16. Следствия теоремы Остроградского ─ Гаусса

CEE
линии вектора напряженности электростатического поля
(силовые линии) нигде, кроме зарядов, не начинаются и
не заканчиваются: они, начавшись на заряде, уходят в
бесконечность для положительного заряда, либо,
приходя из бесконечности, заканчиваются на
отрицательном заряде;
если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых
замкнутой поверхностью, равна нулю, то полный поток
через эту поверхность равен нулю;
если замкнутая поверхность проведена в поле так, что
внутри нее нет зарядов, то число входящих линий
вектора напряженности равно числу выходящих и
поэтому полный поток через такую поверхность равен
нулю.

17.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Введем понятие о плотности распределенных
зарядов.
dq
Линейная плотность
заряда
dl
Кл
м
При равномерном распределении зарядов
линейная плотность равна
q
l
(6)

18.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Поверхностная
плотность заряда
dq
dS
Кл
2
м
При равномерном распределении зарядов по
поверхности поверхностная плотность равна
q
S
(7)

19.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Объемная
плотность заряда
dq
dV
Кл
3
м
При равномерном распределении зарядов по
всему объему объемная плотность равна
q
V
(8)

20.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
r0
Рассмотрим равномерно
заряженную ( = const)
сферическую поверхность
радиуса r0.
Поток вектора напряженности через
r1
поверхность сферы радиуса r1,
которая окружает заряженную сферу,
имеющую радиус
равен
r0,
при
r1 ≥ r0,
ФЕ En S E 4 r
2
1

21.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
По теореме
Остроградского-Гаусса
r0
r1
ФЕ
E 4 r1
2
q
0
q
0
Тогда
=> E
q
4 0 r1
2

22.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
Т.е. вне заряженной сферы поле
такое же, как и поле точечного
заряда
той
же
величины,
помещенного в центре сферы.
r2
r0
Внутри сферы нет зарядов и
поэтому поле там отсутствует, т.е.
r1
при r2 <
нулю.
r0
напряженность равна
Это свойство используют для экранирования от полей
внешних зарядов.

23.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
На поверхности сферы, т. е, при
r1 = r0 напряженность равна
r2
r0
r1
E
q
4 0 r0
2
Или, учитывая (7), получим:
4 r0
S
E
2
2
0
4 0 r0
4 0 r0
2
(9)

24.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферической поверхности
График зависимости Е = f(r)
Е
r2
r0
r1
1
~ 2
r
0
r0
r

25.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
Рассмотрим
поле,
создаваемое бесконечной плоскостью,
заряженной
равномерно, т. е. = const.
Пусть заряд, распределенный по поверхности
плоскости,
равен +q.

26.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
Из соображений симметрии следует,
что
линии
напряженности
электрического поля в любой точке
будут
перпендикулярны
этой
плоскости.
Кроме
того,
в
симметричных
относительно
плоскости
точках,
напряженность поля будет одинакова
по величине и противоположна по
направлению.

27.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
E
nбок
S
Построим цилиндр, ось которого
перпендикулярна к поверхности,
и применим теорему Остроградского-Гаусса.
S
E
n
S

28.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженной, бесконечно протяженной плоскости
E
nбок
q
ФЕ EdS EdSбок 2 ESоcн
E
0
S
n
S
S
S
0
E
d
S
EdS
cos
90
т.к.
бок
бок
тогда
q
ФЕ 2 ES оcн 2 ES cos 0 2 ES
E
=>
0
2 0 S 2 0
q
(10)

29.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля между двумя
бесконечно протяженными, разноименно заряженными
параллельными плоскостями
Вне внутреннего промежутка
напряженность равна нулю, т.к.
поля, созданные разноименно
заряженными параллельными
пластинами, направлены противоположно друг другу.
Между плоскостями
E 0
E E E
E 0
E
2 0 2 0 0
(12)

30.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность
электрического поля
равномерно заряженного,
бесконечного цилиндра

31.

CEE
Заряженный
цилиндр
радиуса R
окружим
коаксиальной
цилиндрической
поверхностью
радиуса r.

32.

CEE
Заряженный
цилиндр
радиуса R
окружим
коаксиальной
цилиндрической
поверхностью
радиуса r.

33.

CEE
Заряженный
цилиндр
радиуса R
окружим
коаксиальной
цилиндрической
поверхностью
радиуса r.

34.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженного, бесконечного цилиндра
Поток вектора напряженности
через
основания равен нулю, т.к. E nосн .
nосн — внешняя нормаль к
основаниям цилиндра.
Поток через боковую поверхность
ФE ESбок E 2 rl
где l ─ высота
цилиндра.

35.

Применение теоремы Остроградского ─
Гаусса для расчета электрических полей
CEE
Напряженность электрического поля равномерно
заряженного, бесконечного цилиндра
Согласно теореме ОстроградскогоГаусса при r ≥ R:
E 2 rl
q
0
1 q
E
,
2 r 0 l 2 r 0
(11)
где τ=q/l ─ линейная плотность
заряда.
Когда r < R, то
E 0.

36.

CEE
Лекцию подготовила к.п.н.
доцент Симдянкина Е.Е.