Понятие производной функции в точке

1.

Тема урока
Понятие производной
функции в точке

2.

Тайны планетных орбит.
Древнегреческие учёные умели решать немногие
задачи кинематики – рассчитать либо
равномерное прямолинейное движение, либо
равномерное вращение вокруг оси.
А планеты на небосводе двигались по самым
замысловатым кривым . Свести эти движения
планет к простым древним учёным не удавалось.
Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну
Кеплеру удалось сформулировать законы
движения планет. Оказалось, что планеты
движутся по эллипсам, и притом неравномерно.
Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

3.

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы
динамики, сформулировал закон всемирного
тяготения и развил математические методы,
позволявшие сводить неравномерное к
равномерному, неоднородное к однородному,
криволинейное к прямолинейному.
В основе лежала простая идея – движение
любого тела за малый промежуток времени можно
приближённо рассматривать как прямолинейное и
равномерное.
Одновременно с Ньютоном немецкий философ
и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал,
как проводить касательные к произвольным
кривым.

4.

Он также развил новое исчисление, которое
оказалось по сути дела тождественным
построенному Ньютоном. Обозначения, введённые
Лейбницем, оказались настолько удачными, что
сохранились и по сей день.
Новая математика Ньютона и Лейбница
состояла из двух больших частей –
дифференциального и интегрального исчислений.
В первом из них говорилось, как, изучая малую
часть явления, сводить неравномерное к
равномерному.
Во второй – как из малых равномерных частей
конструировать сложное неравномерное явление.

5.

Рассмотрим график
2
функции y x
вблизи точки М(1;1),
изображённый в разных
масштабах.

6.

Как изменилась
конфигурация
графика?

7.

Определите радиус
окрестности
точки х = 1
Как изменилась
конфигурация
графика?

8.

Основные выводы
1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график
функции будет отличаться от некоторой
прямой, проходящей через точку М(1;1).
2. То же самое будет происходить с
графиком функции вблизи любой другой
точки.
3. Этим свойством обладают и многие
другие кривые: окружность, гипербола,
синусоида и т. д.
Такое свойство функций называют
«линейность в малом»

9.

Cвойство «линейности в малом».
Выразим это свойство на языке формул.
Как перевести на математический язык
слова «увеличить масштаб»?
Радиус окрестности точки x0
уменьшается.
х0
х

10.

x
x0 - ∆x
x
х0
x0 + ∆x
х
Изменим x0 на величину ∆x.
∆x - называется приращением
аргумента.
x0 x x
x – новое значение аргумента

11.

Величина y(x) – y(x0)
называется приращением функции
в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .
y x0 y x0 x y x0

12.

Таким образом, чтобы вычислить
приращение функции f(x) при переходе от
точки x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:
1. найти значение функции f(x0);
2. найти значение функции f(x0 + Δx)
3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)

13.

Определение
Функция y = f(x) называется
дифференцируемой в точке x0 , если её
приращение в этой точке можно
представить в виде f x0 A x ,
где α – пренебрежимо мала по сравнению
с ∆х, А – некоторое действительное
число.

14.

Что такое коэффициент А?

15.

f x0 A x
Выразим из равенства коэффициент А
A
f x0
x
Значит,
A
f x0
x
x
,
A lim
x 0
где
x
x
- б. м. ф. при x 0
f x0
x
по определению предела функции в точке.

16.

Определение
Производной функции y = f(x) в
точке x0 называется предел
отношения приращения функции в
точке x0 к приращению аргумента
при условии, что приращение
аргумента стремится к нулю.
f x0 lim
x 0
f x0
x
Операция отыскания производной функции
называется дифференцированием.

17.

Рассмотрим пример из физики,
который также приводит к
понятию производной.

18.

Пусть тело движется по закону S t
Надо найти скорость движения на
промежутке времени t1 ; t2
vcp
Если
S t2 S t1
t1 t2 ,
t2 t1
то
vM lim
t2 t1 0
vM lim
t 0
vcp vM
S t2 S t1
t2 t1
S t1
t

19.

Используя определение, найдите производные
функций в точке x0 :
1) y kx b;
2) f x x ;
y x0 k x,
f x0 2 x0 x x ,
y x0
f x0
x
k
y x0 lim k k
x 0
2
2
x
2 x0 x x
x
2
2 x0 x
f x0 lim 2 x0 x 2 x0
x 0

20.

Чтобы найти производную функции в
точке, надо:
1. найти приращение функции в точке x0 ;
2. найти отношение приращения функции к
приращению аргумента;
3. вычислить предел полученного отношения
при условии, что приращение аргумента
стремится к нулю.

21.

Найдите производные следующих функций в
точке x0 :
Функция
Производная
f x 2009 2x
f x0 2
f x 4x 0,5x
2
f x c, c const
f x0 4 x0
f x0 0

22.

ВЫВОД
1) Величина y x y x0 называется приращением функции в
точке x0 и обозначается y x0 . y x0 y x0 x y x0
2) Функция y f x называется дифференцируемой в
точке x0 , если её приращение в этой точке можно
представить в виде f x0 A x , где
α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х.
3) Производной функции y f x в точке x0 называется
предел отношения приращения функции в точке
приращению аргумента при условии, что
приращение аргумента стремиться к нулю.
x0
к
f x0 lim
x 0
f x0
x
4) Чтобы найти производную функции, надо:
1. найти приращение функции в точке;
2. найти отношение приращения функции к приращению
аргумента;
3. вычислить предел полученного отношения при условии,
что приращение аргумента стремиться к нулю.