Тема: ВВЕДЕНИЕ В Математический анализ
§1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
Основные числовые множества:
§ 2. Функции, их свойства. График функции
График функции
Способы задания функций одной переменной
сложная функция
Свойства функций одной переменной
§2. Предел функции
Окрестность точки
Геометрический смысл предела функции
Пример
4.2. Односторонние пределы
Пример
4.3. Основные теоремы о пределах
Арифметические операции над пределами:
Пример
Замечательные пределы
Раскрытие некоторых видов неопределенностей
Пример
Пример
Пример
Пример
1.17M
Category: mathematicsmathematics

Введение в математический анализ

1. Тема: ВВЕДЕНИЕ В Математический анализ

Тема: ВВЕДЕНИЕ
В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

2. §1. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

ОПР. Под множеством понимается
совокупность
объектов
произвольной
природы.
Эти
объекты
называются
элементами множества.
Множества
обозначаются
обычно
заглавными латинскими буквами: A, B, C и
так далее, а их элементы – строчными: a, b,
c,...

3. Основные числовые множества:

1,2,..., n,... - множество натуральных чисел;
Z 0, 1, 2,..., n,...
- множество целых чисел;
m
m Z, n
n
-
множество рациональных
чисел
(множество
конечных
и
периодических десятичных дробей);

4.

R -
множество
действительных
(вещественных) чисел − это множество
периодических
и
непериодических
десятичных дробей - числовая ось (прямая):
x0 1 0 1
x0
x
важнейшее свойство действительных
чисел
свойство
непрерывности:
действительные числа сплошь заполняют
числовую
ось,
т.е.
между
двумя
различными действительными числами
всегда
можно
вставить
новое
действительное число.

5. § 2. Функции, их свойства. График функции

Пусть даны два непустых множества X , Y .
Соответствие f , которое каждому
элементу x множества X сопоставляет
единственный элемент y множества Y,
называется функцией и обозначается
y f ( x) или f : X Y .
Множество X D f – область определения
функции,
E f { y y f ( x), x X } – множество значений.

6.

Пусть задана функция y f ( x).
Если элементами множеств Х и У являются
действительные числа, т. е. x , y , то
функцию f называют числовой функцией.
Переменная
x называется при этом
аргументом или независимой переменной,
а y – функцией или зависимой переменной.
Относительно величин x и y говорят,
что они находятся в функциональной
зависимости.
f (c) – частное значение функции f при x c.

7. График функции

ОПР. Графиком функции y y( x), x X R.
является множество всех точек x, y
плоскости Oxy ,
для каждой из которых значение аргумента
x является абсциссой,
а значение функции y - ординатой.

8. Способы задания функций одной переменной

Задать функцию - это значит указать
множество ее определения и правило, при
помощи которого по данному значению
независимой
переменной
находятся
соответствующие ему значения функции.
Три
основных
способа
задания
функции:
x
-1
0
1
2
1. Табличный.
y
1
0
1
4

9.

2. Графический.
y
y
M x, y
x
0
X
x

10.

3. Аналитический.
Например, y 1 x2

11. сложная функция

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть функция y x
отображает
числовое множество X D в множество
Y E , а функция z f y
отображает
множество E D fв множество E f.
Тогда функция z f x
называется сложной функцией, или
суперпозицией функций и f
.
Она определена на множестве X D и
отображает его в множество E f .

12.

Функция y x считается промежуточным аргументом для функции z f x .
Например, функцию z sin 2 x можно
рассматривать как сложную, образованную
суперпозицией функций
y 2 x и z sin y.

13. Свойства функций одной переменной

1. Четность и нечетность функции.
2. Периодичность функции.
3. Монотонность функции.
4. Ограниченность функции.

14. §2. Предел функции

15. Окрестность точки

Окрестностью B a точки a R
( конечной точки) называется любой интервал,
содержащий эту точку: B a , a
(
)
a
x
-окрестностью B a точки а называется
интервал вида a , a
(
a
a
)
a
x

16.

Если из окрестности B a саму точку
a R удалить, то получим проколотую
Bˆ a окрестность этой точки.
(
a
)
x

17.

Число A называется пределом функции
y f ( x) при x a , если для любого, как
угодно малого 0, найдется такое число
0 , что для всех х, удовлетворяющих
условию x a , будет выполнятся
неравенство f x A
C помощью логической символики:
A lim f x 0 0
x a
0 x a
f x A

18. Геометрический смысл предела функции

y
y f x
A
A
A
0
a a a
x

19.

A lim f x .
x a
это значит, что для любой -окрестности
точки A найдется такая проколотая окрестность точки ɑ , что для всех x из этой
-окрестности соответствующие значения
функции f ( x )
лежат в -окрестности
точки A.
Т. Е. точки графика функции y f ( x ) лежат
внутри полосы шириной 2 ,
ограниченной прямыми y A и
y A

20. Пример

Для функции,
заданной
графически,
найти
указанные
пределы
lim f x 4
x 3
lim f x 0
x 4
y
4
3
1
0
lim f x
x
3
4
3
lim f x 1
x 0
x

21. 4.2. Односторонние пределы

ОПР. Если значения функции y f ( x)
стремятся к пределу A1 при x a причем,
х принимает только значения меньше a , то
записывают A1 lim f x
x a 0
и A1 называют пределом слева в точке a .
A1 lim f x B A1 Bˆ a
x a 0
x Bˆ a , x a f x B A1

22.

Если х принимает только
большие чем a , то записывают
значения
lim f x A2
x a 0
и A2 называют пределом справа в точке a

23.

Значения односторонних пределов
обычно записывают следующим образом:
для предела слева A1 lim f x f a 0
x a 0
и предела справа A2 lim f x f a 0
x a 0

24.

Если существует lim f x A , то
x a
существуют и оба односторонних предела,
причем A A1 A2
Справедливо и обратное утверждение:
если существуют оба предела lim f x
x a 0
и lim f x и они равны, то существует
x a 0
предел lim f x и A A A
x a
1
2
Если же A1 A2 , то lim f x не
x a
существует.

25. Пример

y
Для функции,
заданной
графически,
найти
указанные
пределы
lim f x
x 0
lim f x 4
x 0
3
4
3
0
1
3
lim f x
x 3 0
x
4
lim f x 4
x 3 0

26. 4.3. Основные теоремы о пределах

Предположим,
что
существуют
конечные пределы функций f x и g x
при x a :
lim f x A, lim g x B.
x a
x a
Тогда
имеют
место
следующие
основные свойства конечных пределов.

27.

Поскольку для основных элементарных
функций во всех точках их области
определения имеет место свойство
lim f x f a ,
x a
то при вычислении пределов, прежде всего
вместо х подставляем предельное значение
и, если значение определено, то используя
арифметические операции над пределами,
вычисляем предел.

28. Арифметические операции над пределами:

1) lim c f x c lim f x , где c const
x a
x a
Пример. 1)
2)
lim 3 x 3 lim x 3 2,
x 2
x 2
lim (4 x ) 4 lim x 4 ( 3) 36.
2
x 3
2
x 3
2

29.

2)
lim f x g x
x a
lim f x lim g x A B;
x a
x a
Пример. 1)
lim(4 x 5 x 3)
2
x 1
4 lim x 5 lim x lim3 4 1 5 1 3
2
x 1
6.
2
x 1
x 1

30.

3) lim f x g x lim f x lim g x ;
x a
x a
x a
Пример.
1) lim( x e ) lim x lim e 1 e e.
2 x
x 1
2
x 1
x
x 1
2
1

31.

4)
lim f x
f x x a
lim
,
x a
g
x
lim g x
lim g x 0
x a
x a
x 3) 22 3 7
x 3 lim(
1) lim
x 2
7
x 2 x 1
lim( x 1)
2 1 1
2
2
x 2

32.

При вычислении пределов используют
следующие равенства:
C
0,
C
0 ,
0
C 0,
C ,
0
C , , 0,
0 ,
C const .

33. Пример

1. Вычислить lim x 7 x 4
x 2
Решение.
2
lim x 7 x 4 lim x lim 7 x lim 4
2
2
x 2
x 2
x 2
2 7 * 2 4 6
2
x 2

34.

2. Вычислить
x 3x 2
lim 2
x 1 x x 4
2
Решение.
x 3 x 2
x 3 x 2 lim
x 1
lim 2
2
x 1 x x 4
lim x x 4
2
2
x 1
1 3 2 0
0
1 1 4 6

35.

Однако, часто при подстановке в f x
вместо x предельного значения а
получаются выражения вида:
0
;
;
0
;
1
;
0
и
другие,
которые
называются
неопределенностями и которые нужно
«раскрывать» специальными методами.

36. Замечательные пределы

При вычислении пределов выражений,
содержащих тригонометрические функции,
часто используют предел
sin x
lim
1,
x 0
x
который
называется
замечательным пределом.
первым

37.

Справедливы также равенства
sin ( x )
lim
1,
( x ) 0 ( x )
tg ( x )
lim
1,
( x ) 0 ( x )
arcsin ( x )
lim
1,
( x ) 0
( x )
arctg ( x )
lim
1,
( x ) 0
( x )

38.

Равенства
x
1
1
1 t t e,
lim 1 e , lim
t 0
x
x
называются вторым замечательным
пределом.
Здесь число е - предел числовой
n
последовательности
1
1 , n 1,2,3,...
n
n
1
lim 1 e .
n
n

39.

e является числом иррациональным,
е= 2,718281828459045….
При практических вычислениях обычно
ограничиваются первыми двумя знаками
после запятой.
Число е играет очень важную роль в
математическом анализе.
Показательная функция с основанием е,
называется экспонентой: y e x

40.

Логарифм по основанию е называется
натуральным
логарифмом
и
обозначается ln x. Таким образом:
ln x log e x .

41. Раскрытие некоторых видов неопределенностей

Неопределенность вида
0
0
А) При вычислении предела дроби,
содержащей
тригонометрические
функции, в случае, когда предел и
числителя, и знаменателя равен нулю,
можно
использовать
первый
замечательный предел.

42. Пример

sin7 x
Найти предел функции lim
x 0 sin5 x
Решение.
1
sin 7 x
7x
sin 7 x
7x
7
0
7
x
lim
lim
lim
x 0 sin 5 x
x 0 sin 5 x
x 0 5 x
5
0
5x
5x
1

43.

Б) При нахождении
P x
lim
x a Q x отношения двух
многочленов P x и Q x , если P a Q a 0
то следует числитель и знаменатель дроби
разделить на разность x a один или
несколько
раз,
пока
не
исчезнет
неопределенность.

44. Пример

2
3
x
x 2
Вычислить lim
x 1
x2 1
Решение. При x 1 числитель и знаменатель
дроби стремятся к нулю. Используем
2
ax
bx c a x x1 x x2
формулу
3 x x 2 3 x
2
2
x 1 3 x 2 x 1
3
3 x 2 x 1
3 x2 x 2
3x 2 5
lim
lim
lim
2
x 1
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
2
x 1

45.

0
В) При раскрытии неопределенности 0 в
случае иррациональных выражений в
числителе и (или) знаменателе следует
избавится от иррациональности путем
умножения
на
соответствующее
сопряженное выражение или производя
замену переменных.

46. Пример

Вычислить
2x 1 3
lim
x 4
x 4
x 3
Решение. При
числитель и
знаменатель
дроби
равны
нулю.
Домножим числитель и знаменатель на
выражение, сопряженное числителю
2 x 1 3 , получим

47.

2x 1 3 0
lim
lim
x 4
x 4
0 x 4
2x 1 3
2x 1 3
x 4 2 x 1 3
2 x 1 9
2 x 8
lim
lim
x 4
x 4 2 x 1 3 x 4 x 4 2 x 1 3
2 x 4
2
2 1
lim
lim
.
x 4
x 4 2 x 1 3 x 4 2 x 1 3 3 3 3
В преобразованиях использовали формулу
a b
a b
a b
2
2
a b.

48.

2.2. Неопределенность вида
P x
А). При нахождении предела lim
x Q x
отношения двух многочленов P x и Q x
при x числитель и знаменатель дроби
целесообразно разделить на x n, где n –
высшая степень этих многочленов.

49. Пример

4 x4 3 x2 5
Найти предел функции lim
x 2 x 7 x 3 3 x 4
Решение. Имеем неопределенность
Разделим числитель и знаменатель
дроби на 4 тогда
x ,
0
0
3
5
4
4
2
2
4
4x 3x 5
4 0 0 4
x
x
lim
lim
3
4
x 2 x 7 x 3 x
x 2 7 3 0 0 3 3
x3 x
0
0
English     Русский Rules