Понятие функции. Способы задания функций

Предел числовой последовательности. Предел функции

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

409.00K

Category: $mathematics$ mathematics

Введение в математический анализ

1. Введение в математический анализ

Модуль 3

2. Понятие функции. Способы задания функций

• Пусть X – некоторое множество
действительных чисел.

3.

• Определение. Если каждому
элементу x из множества X по
некоторому закону f ставится в
соответствие вполне
определённое действительное
число y, то говорят, что y есть
функция переменной величины
x и пишут y = f(x).

4.

• Множество X называется
областью определения
функции f(x) и обозначается D(f
). Множество всех значений y
функции y = f (x), когда x
пробегает всю область
определения, называется
областью изменения или
областью значений функции и
обозначается E(f ).

5.

• Например, для функции y = sin x
область определения D(f ) = R,
область значений E(f ) = [–1; 1].

6.

• Различают следующие способы
задания функции: табличный,
графический, аналитический (с
помощью формул).

7.

• Под графиком функции
понимают множество точек
плоскости, абсциссы которых
есть значения независимой
переменной, а ординаты равны
соответствующим значениям
функции. График фукции есть
некоторая линия на плоскости.
Например, уравнение y = x2
задает функцию, графиком
которой является парабола.

8.

• К основным элементарным
функциям относятся:
• y = xa (при постоянном a ∊ R) –
степенная функция;
x
• y = a (при постоянном a ∊ R,
a > 0, a ≠ 1) – показательная
функция;
• y = loga x (при постоянном a ∊ R,
a > 0, a ≠ 1) – логарифмическая
функция;

9.

y = sin x, y = cos x, y = tg x,
y = ctg x – тригонометрические
функции;
y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctg x, y = arcctg x –
обратные тригонометрические
функции.

10.

• Функция, заданная
последовательной цепью
нескольких функций (y = f(u), где
u = φ(x)), называется сложной
функцией. Например, функция
y = lg3(2x) сложная, и она может
быть представлена следующей
цепью основных элементарных
3
x
функций: y = z , z = lg u, u = 2 .

11.

• Функции, образованные из
основных элементарных
функций посредством конечного
числа алгебраических операций
и взятия функции от функции,
называются элементарными.

12.

• Все остальные функции
называются неэлементарными.
Примером неэлементарной
функции может служить
функция вида
y 1 x x x ... x ...
2
3
n

13.

• Функция, определяемая
уравнениями y (t ),
x (t ),
в которых зависимость между y
и x устанавливается
посредством третьей
переменной t, называется
заданной параметрически, при
этом t – параметр.

14.

• Например, уравнения
y 2t 1, x t 2
определяют линейную функцию
y 2(x 2) 1 2x 5

15. Предел числовой последовательности. Предел функции

16.

• Определение. Число A
называется пределом
последовательности
a1, a2, …,an,…, если для любого
положительного числа ε
существует такой номер
N = N(ε), что при всех n > N
выполняется неравенство .
an A

17.

• Если последовательность a1, a2,
…an,… имеет своим пределом
число A, то это записывается
следующим образом:
lim a n A
n
• или
an A npu n

18.

• Определение. Число А
называется пределом функции
y = f(x) при x → a (в точке x = a),
если для каждого числа ε > 0
найдется такое число
δ = δ(ε) > 0, что при 0 <|x – a| < δ
выполняется неравенство
|f(x) – A| < ε.

19.

• Обозначают этот факт так:
lim f ( x) A
x a

20.

• Если число A является
пределом функции y = f(x) при
x → a, то на графике это
иллюстрируется следующим
образом.

21.

• Так как из неравенства 0 <|x – a| < δ
следует неравенство |f(x) – A| < ε, то
это значит, что для всех x,
отстоящих от a не далее чем на δ,
точка M графика функции y = f(x)
лежит внутри полосы шириной 2ε,
ограниченной прямыми y = A – ε и
y = A + ε. Очевидно, что с
уменьшением ε величина δ также
уменьшается.

22.

23.

• Число A называется пределом
функции y = f(x) при x → ±∞,
если для любого ε > 0
существует число M > 0, что при
всех |x| > M выполняется
неравенство |f(x) – A| < ε.

24.

• Функция y = f(x) называется
ограниченной в области D,
если существует постоянное
число M > 0, что для всех x ∊ D
выполняется неравенство
|f(x)| < M.

25.

• Например, функция
2
y
2
1 x
ограничена для всех x ∊ R, так
как в этой области |f(x)| ≤ 2.

26. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

27.

• Определение. Функция α(x)
называется бесконечно малой
при x → a, если lim ( x) 0
x a
• Функция β(x) называется
бесконечно большой при x → a,
если lim ( x)
x a

28.

• Например, функция y = sin x
является бесконечно малой при
1
y
2
x → 0, а функция
x 1 есть
бесконечно малая при x → ±∞,
так как их пределы равны нулю.
Функция y = tg x является
бесконечно малой при x → 0 и
бесконечно большой при
x → π/2.

29.

• Теорема. Если функция α(x) –
бесконечно малая при x → a, то
1
( x)
— бесконечно большая
функция при x → a
1
0

30.

• Если функция β(x) – бесконечно
большая при x → a, то
1
( x) – бесконечно малая
функция при x → a 1
0

31.

• Справедливы следующие
утверждения:
• Сумма конечного числа
бесконечно малых функций есть
бесконечно малая функция.

32.

• Произведение ограниченной
функции на бесконечно малую
есть бесконечно малая функция.
• Произведение конечного числа
бесконечно малых функций есть
бесконечно малая функция.

33. Теоремы о пределах

• Если пределы lim u ( x) и lim v( x)
x a
x a
существуют и конечны, то

34.

1) lim
x a
cu( x) c lim u( x)
x a
где с = const;
2)
lim (u ( x) v( x))
x a
lim u ( x) lim v( x)
x a
x a

35.

3)
lim (u ( x) v( x))
x a
lim u ( x) lim v( x)
x a
4)
x a
lim u ( x)
u ( x ) x a
lim
lim v( x)
x a v ( x )
x a
где lim v( x) 0
x a

36. Замечательные пределы

• Первый замечательный предел:
sin x
lim
1
x 0 x

37.

• Второй замечательный предел:
x
1
lim 1 lim 1 x
x
x
x
1
x
e
где e — иррациональное число,
e ≈ 2,718281828 — одна из
фундаментальных величин в
математике.

38.

• Функция y = ex = exp(x)
называется экспонентой;
y = loge x = ln x называется
натуральным логарифмом.

39.

• Пример. Вычислить
2
lim
x 2
x 3x 3
2
x x 3

40.

• Решение.Так как
2
2
lim ( x x 3) lim x lim x 3 3 0
x 2
x 2
x 2
то применима теорема о
пределе частного. Значит,
2
x 3x 3
2
lim ( x 3x 3)
1
lim
2
x 2 x 2 x 3
lim ( x x 3) 3
x 2
x 2

41.

• Пример. Вычислить
3
lim
x
2
2 x 3x 1
3
x 4x 2

42.

• Решение. Так как при x → ∞
числитель и знаменатель дроби,
стоящей под знаком предела,
стремятся к бесконечности, то
имеем неопределенность вида

43.

• Для раскрытия таких
неопределенностей делят
числитель и знаменатель дроби
на старшую степень x. После
деления на x3 получаем:

44.

3 1
2 3
3
2
2 x 3x 1
x
x
lim 3
lim
x x 4 x 2
x
4 2
1 2 3
x
x
2 0 0
2
1 0 0

45.

• Пример. Вычислить
2
lim
x 3
x x 12
2
x 9

46.

• Решение. Так как
lim ( x x 12) 0,
2
x 3
lim ( x 9) 0
2
x 3
то имеем неопределённость
вида
0
0

47.

• Так как,
x x 12 ( x 3)( x 4);
2
x 9 ( x 3)( x 3)
2
• то
x x 12
( x 3)( x 4)
lim
lim
2
x 3
x 3 ( x 3)( x 3)
x 9
x 4 7
lim
x 3 x 3
6
2

48.

• Пример. Вычислить
lim
x 2
x 7 3
2
x 3x 2

49.

• Решение. Имеем
неопределенность вида
Умножим числитель и
знаменатель дроби на
выражение ( x 7 3 ), а
также разложим знаменатель на
линейные множители:
0
0

50.

x 7 3 0
lim 2
x 2 x 3x 2
0
x 7 3 x 7 3
lim
x 2 x 1 x 2
x 7 3

51.

x 7 9
lim
x 2 x 1 x 2
x 7 3
x 2
lim
x 2 x 1 x 2
x 7 3
lim
x 2
x 1
1
1
x 7 3 6

52.

• Пример. Вычислить
sin 7 x
lim
x 0 tg 3 x

53.

• Решение. Для раскрытия
0
неопределённости
0
воспользуемся первым
замечательным пределом.
Считая, что x ≠ 0, проведём
очевидные преобразования:

54.

sin 7 x
lim
x 0 tg 3 x
sin 7 x
sin 7 x
7x
7
7
x
7
x
lim
lim
cos 3 x
x 0
x 0 sin 3 x
sin 3 x
3x
3
cos 3x 3x
3x
sin 7 x
lim
7 x 0 7 x
7 1
7
lim cos 3x 1
sin 3x x 0
3
3 1
3
lim
x 0 3x

55.

• Пример. Вычислить
2
lim 1
x
x
x

56.

• Решение. Для раскрытия
∞
неопределённости 1
воспользуемся вторым
замечательным пределом:

57.

2
lim 1
x
x
x
x
2 2
lim 1
x
x
2
e
2
поскольку
x
2 2
lim 1
x
x
y
1
lim 1 e
x
y
y
2

58. Сравнение бесконечно малых функций

• Для сравнения двух бесконечно
малых функций α(x) и β(x) в
точке x = a находят предел
( x)
отношения
lim
x a
( x)
A

59.

• Если A ≠ 0 и A ≠ ∞, то функции
α(x) и β(x) называются
бесконечно малыми одного
порядка.
• Если A = 0, то α(x) называется
бесконечно малой высшего
порядка по сравнению с β(x).
Записывается это так:
α(x) = o(β(x)).

60.

• Если A = 1, то бесконечно малые
функции α(x) и β(x) называют
эквивалентными и обозначают
α(x) ~ β(x). Например, sin x ~ x
при x → 0, так как
sin x
lim
1
x 0 x

61.

• Основные эквивалентности
при x → 0:
• sin kx ~ kx,
tg kx ~ kx,
• arcsin kx ~ kx,
arctg kx ~ kx,
• ln (1+kx) ~ kx,
ekx – 1 ~ kx.

62.

• При вычислении пределов
используют следующую
теорему.
• Теорема. Предел отношения
двух бесконечно малых функций
в некоторой точке равен
пределу отношения
эквивалентных им бесконечно
малых функций в той же точке.

63.

• Пример. Вычислить
1 cos 5 x
lim
x 0 x sin 3 x

64.

• Решение. Воспользуемся
эквивалентными бесконечно
малыми функциями. Так как при
x→0
5x
1 cos 5 x 2 sin
2
2
2
x
5x
~ 2 25
2
2
• и sin 3x ~ 3x, то
2
~

65.

1 cos 5 x 0
lim
x 0 x sin 3 x
0
2
x
25
25
2
lim
x 0 x 3 x
6

66. Сравнение бесконечно малых функций

• Для сравнения двух бесконечно
малых функций α(x) и β(x) в
точке x = a находят предел
отношения
( x)
lim
x a
( x)
A

67.

68.

69.

• Основные эквивалентности
при x → 0:
• sin kx ~ kx,
tg kx ~ kx,
• arcsin kx ~ kx,
arctg kx ~ kx,
• ln (1+kx) ~ kx,
ekx – 1 ~ kx.

70.

71.

• Пример. Вычислить
1 cos 5 x
lim
x 0 x sin 3 x

72.

• Решение. Воспользуемся
эквивалентными бесконечно
малыми функциями. Так как при
x→0
2
2
5
x
5x
x
1 cos 5x 2 sin
~2
25
2
2
2
2
и sin 3x ~ 3x, то

73.

1 cos 5 x 0
lim
x 0 x sin 3 x
0
2
x
25
25
2
lim
x 0 x 3 x
6

74. Непрерывность функции

• Определение. Функция y = f(x)
называется непрерывной в
точке x = x0, если предел
функции в точке x0 существует и
lim f ( x) f ( x0 )
x x0