Распределение Пуассона

1. Распределение Пуассона

• Ряд методов современной аналитической химии дает
результаты в виде целых величин (х), например, подсчет
импульсов в радиохимии.
• Вероятность появления одной случайной величины (x ):
x
• средняя квадратичная ошибка:
x e
x!
• Для практических целей удовлетворительное приближение
к нормальному распределению наступает при среднем
значении измеряемой величины (скорости счета) x 15

2. t-распределение распределение Стьюдента

• Нормальным распределением можно пользоваться в случае
большого числа измерений (n>20).
• На практике для одной пробы проводят 3-5 измерений,
поэтому
используют
другое
распределение
–
t-распределение.
• Для t-распределения вводят следующие параметры:
- число степеней свободы f;
f n 1
- вместо стандартного отклонения (средней квадратичной
ошибки) используют оценку средней квадратичной
ошибки s :
n
х – измеряемая величина
s
2
x
i
i 1
n 1

3.

• Максимумы частоты нормального и t-распределения лежат
при одном и том же значении абсциссы.
• Высота и ширина кривых t-распределения зависят от f и s.
• При f t-распределение переходит в нормальное
распределение.
t
0,4
f= (Нормальное
распределение)
0,3
f=5
f=1
0,2
0,1
t
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Кривые t-распределения для f = 1, f = 5 и f =
5
При Р=0,95
измеренные значения
х больше не лежат в
области 2s … +2s,
как при нормальном
распределении. Этот
интервал становится
тем шире, чем меньше
измерений было
проведено

4. Вычисление стандартного отклонения и доверительного интервала

• Доверительный интервал и средняя квадратичная ошибка
являются характеристикой качества проведенного
измерения.
• Чем больше измерений, тем меньше s и больше f.
• Если есть измерения нескольких проб, для которых
измеряемые величины (например, концентрации) и
оценки среднего квадратичного отклонения близки между
собой, то результаты анализа этих проб можно
объединять и вычислять общее значение s.

5.

Если взять m проб и для каждой из них провести nj
параллельных измерений, то результаты можно записать в
виде таблицы:
№
пробы
Номер измерения
1
2
…
i
…
nj
1
x11
x12
…
x1i
…
x1nj
2
x21
x22
…
x2i
…
x2nj
…
…
…
…
…
…
…
J
xj1
xj2
…
xji
…
xjnj
…
…
…
…
…
…
…
m
xm1
xm2
…
xmi
…
xmnj

6.

Оценка стандартного отклонения в
этом случае рассчитывается по
формуле:
m
s
nj
n
x ji x j
j 1 i 1
x ji
x j i 1
nj
j
2
n m
- среднее значение для пробы номер j
В этом случае число степеней свободы равно:
f n m
где n – общее число всех анализов, m – число проб.
m
Если число параллельных измерений для всех m
проб одинаково. Тогда n1=…=nj , а f1=f2=…=f и
s
можно использовать следующую формулу:
2
s
j
j 1
m

7.

Результат анализа записывается в виде:
x j x j
,
где х – доверительный интервал:
t ( P, f ) s
x j
nj
При этом следует предварительно выбрать вероятность Р,
определяющую результат вычислений.
Требуемые значения t(P,f) являются табличными данными.

8.

Доверительный интервал в большой степени зависит от числа
параллельных измерений
+10
• при
P=0,95
m=1
m=5
x x
x
переходе от двух к трем или
четырем параллельным измерениям
одной пробы доверительный интервал
уменьшается;
• дальнейшее увеличение числа
измерений не оправданно;
10
2
3
nj
4
5
•увеличение числа степеней свободы за
счет объединения измерений серии проб
приводит к существенному уменьшению
доверительного интервала:
При простом объединении m=5 проб уже получают m(nj 1)
степеней свободы. Поэтому величина t(P,f) уменьшается и,
следовательно, получаются более надежные данные