Прохождение сигнала и шума через приёмный тракт. Статистические характеристики шума на выходе БВЧ

1. 2. Прохождение сигнала и шума через приёмный тракт

Литература
Карташёв В.Г., Шалимова Е.В. Основы теории случайных
процессов. М.: изд-во МЭИ, 2005.
2.1. Статистические характеристики шума на выходе БВЧ
2.2. Статистические характеристики огибающей смеси
сигнала и шума
2.3. Приём ЧМ сигнала при действии шума

2.

2.1. Статистические характеристики шума на
выходе БВЧ
Квазигармоническое
колебание
Белый шум
БВЧ
АЧХ БВЧ
f0
w(u )
Плотность вероятности напряжения шума
(нормальное распределение)
w u =
1
U ш 2
e
P u 3Uш , 3Uш 0,997
u2
2U ш2
3U ш
u
0
3U ш
1

3.

Автокорреляционная функция шума (1)
Теорема Винера-Хинчина
Автокорреляционная
функция (АКФ)
«Математический»
энергетический спектр
«Математический»
спектр
«Физический»
спектр
Gм ( )
Gф ( f )
Gф ( f ) 2Gм 2 f
1
Gм ( ) Gф
2 2
0
0
0
0
f0
f
2

4.

Автокорреляционная функция шума (2)
1
1
j
K ( )
G
(
)
e
d
2
Gм ( )cos d Gф ( f )cos 2 f df
м
2
2 0
0
Приближённое выражение при симметричной АЧХ БВЧ
АЧХ БВЧ: K ( f ) K 0 ( f )
Энергетический Gф ( f ) G0 K 02 2 ( f )
спектр:
0
f0
K ( ) G0 K02 2 f cos 2 f df G0 K 02
2НЧ F cos 2 f 0 2 F dF
2
2
G0 K НЧ F cos 2 F dF cos 2 f 0 НЧ F sin 2 F dF sin 2 f 0
2
0
2
2
2G0 K0 НЧ ( F )cos 2 F dF cos 2 f 0
0
3

5.

Автокорреляционная функция шума (3)
K ( ) U ш2 ( )cos 2 f 0
U ш2 K (0) G0 K02 ш дисперсия шума на выходе БВЧ
2
2
( )
НЧ F cos 2 F dF огибающая нормированной АКФ
Пш 0
U
( )
K ( )
2
ш
( )
1
0
0
4

6.

2.2. Статистические характеристики огибающей смеси
сигнала и шума
Статистические характеристики
низкочастотных квадратурных составляющих шума
Шум - квазигармоническое колебание:
u (t ) U (t )cos 0t (t )
U (t )cos (t ) cos 0t U (t )sin (t ) sin 0t U шc (t ) cos 0t U шs (t ) sin 0t
Свойства квадратурных составляющих шума:
1) U шs (t ), U шc (t ) нормальные случайные процессы с нулевым математическим ожиданием:
U шs (t ) U шc (t ) 0
2
2
2) Дисперсия U шs (t ) U шc (t ) U ш2
3) АКФ KU с ( ) KU s ( ) U ш2 ( ) K ( ) KU c ( )cos 0 KU s ( )cos 0
ш
ш
ш
ш
4) В совпадающие моменты времени U шс (t )U шs (t ) 0
5) Огибающая U (t )
U
с
ш
(t ) U шs (t )
2
2
5

7.

Статистические характеристики огибающей шума
на выходе БВЧ
Распределение Релея w(U )
Мода: U mod U ш
Среднее значение: U
U
e
2
Uш
w(U )
U2
2U ш2
, U 0
U ш 1,25U ш U mod
2
U
0
Дисперсия: U2
4 2
U ш 0,43 U ш2
2
СКО: U
U mod
4
U ш 0,66 U ш
2
АКФ: KU ( ) U (t ) U (t ) U (t ) U (t ) U2 U ( )
Нормированная огибающая АКФ:
2
2
2
1 2
1 4
1 3 6
U ( )
( )
( )
( )
4 2
2 4
2 4 6
0,915 2 ( ) 0,057 4 ( ) 0,014 6 ( )
2 ( )
6

8.

Статистические характеристики огибающей суммы сигнала и
шума на выходе БВЧ (1)
Сигнал uс (t ) U с cos 0t , шум uш (t ) U шc (t )cos 0t U шs (t )sin 0t
uс (t ) uш (t ) U шc (t ) U с cos 0t U шs (t )sin 0t V (t )cos 0t (t )
2
Огибающая с+ш V (t ) U с U шc (t ) U шs (t )2
U с+ш (t )
U ш (t )
(t )
Uс
jU шs (t )
(t ) U шc (t )
7

9.

Статистические характеристики огибающей суммы сигнала и
шума на выходе БВЧ (2)
VU с
V
Распределение Райса w(V ) 2 I 0 2 e
Uш Uш
V 2 U с2
2U ш2
, V 0
Сигнал отсутствует U c 0 : I 0 (0) 1
V
w(V ) 2 e
Uш
V2
2U ш2
распределение Релея
U
Отношение сигнал-шум a с 1:
Uш
w(V )
1
U ш 2
e
ex
I0 ( x)
2 x
(V U с )2
2U ш2
нормальное распределение
8

10.

Шум на выходе БВЧ (Uc = 0)
Uш = 0,1
9

11.

Сигнал + шум на выходе БВЧ (Uc = 0,1)
Uш = 0,1
10

12.

Сигнал + шум на выходе БВЧ (Uc = 0,2)
Uш = 0,1
11

13.

Математическое ожидание (среднее значение)
огибающей
V VwРайса (V )dV U ш М (a ), где M (a )
e
2
0
a2
4
a 2 a 2 a 2 a 2
1 I 0 I1
2 4 2 4
M(a)
6
При a 0 : M (a )
5
4
3
a2
при a 1: M (a )
1 ,
2
4
1,25
2
2
при a 1: M ( a ) a 2 1,
a при a 1: M (a) a
1
0
1,25,
2
1
2
3
4
5
Среднее значение напряжения на выходе АД:
U д Kд V KдU ш М (a)
12

14.

Среднеквадратичное отклонение
(эффективное значение случайной составляющей)
V
2
2
2
(
V
V
)
w
(
V
)
dV
U
N
(
a
),
где
N
(
a
)
2
a
M
(a )
Райса
ш
0
N(a)
1
0.9
0.8
0.7
4
0,66
2
0.6
0
1
При a 0 :
N (a)
при a 1:
N (a) 1
4
0,66,
2
a
2
3
4
5
Эффективное напряжение шума на выходе АД:
U д K д V K дU ш N (a)
13

15.

2.3. Приём ЧМ сигнала при действии шума
a=3
a=1
a=2
a=0
14

16.

Статистические характеристики
мгновенной частоты смеси сигнала и шума
Сигнал + шум :
uс (t ) uш (t ) U 0 cos 0t U (t )cos 0t (t ) V (t )cos 0t (t )
Мгновенная круговая частота: (t ) 0
d (t )
dt
Плотность вероятности
мгновенной частоты шума:
w
5
0
d 2 ( )
w( )
, где 0
3/ 2
2
2
d
0
2 0 0
3
2
Математическое ожидание: 0
СКО:
0
2
1
a 0
Среднее абсолютное отклонение:
0
S 0 0
15

17.

Энергетический спектр мгновенной частоты
смеси сигнала и шума (прямоугольная АЧХ БВЧ)
16

18.

Аномальные выбросы мгновенной частоты шума
17

19.

Аномальный выброс
18

20.

АКФ и энергетический спектр мгновенной частоты
при a >> 1
19

21.

Энергетический спектр мгновенной частоты при a >> 1
F2
G f ( F ) 2 GU S ( F )
Uс ш
G f ( F )
GU S ( F )
G( f )
ш
ш
F2
U с2
f
0
f0
0
ш 2
F
0
ш 2
F
20

22.

Энергетический спектр напряжения
на выходе ЧД ( a = 10)
Спектр шума на
выходе БВЧ
без ЧМ
с ЧМ
ЧМ 5
FМ 20 кГц
f m 100 кГц
21