Физический смысл определенного интеграла

1. Физический смысл определенного интеграла

Пусть
материальная точка М перемещается по воздействием силы
F , направленной вдоль оси OX и имеющей переменную
величину F F (x )
Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси
OX из точки
х = а в точку х = b .
F
a М
сi
x1 x2 … хi -1 хi
…
xn - 1
b
Сила, действующая на отрезке [xi - 1; xi] меняется от точки к точке.
Но если длина отрезка xi xi xi 1 достаточно мала, то силу
на этом отрезке можно считать постоянной, равной значению
функции в произвольно выбранной точке ci xi 1; xi
Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке
равна:
Ai F (ci ) xi
xi 1; xi
1

2.

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [a; b]:
n
A F (c i ) x i
Точное значение работы А :
A lim
i 1
b
n
F (c ) x F ( x )dx
n
( 0 ) i 1
i
i
a
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за
промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному
b
интегралу от скорости:
S v (t )dt
a
Масса неоднородного стержня на отрезке [a; b]
равна определенному интегралу от плотности:
b
m ( x )dx
a
2

3. Примеры

1
Решение:
3

4. Примеры

2
Какую работу надо произвести, при перемещении
материальной точки на промежутке от 1 до 2 м под
действием силы F(x) = x+3 (H)?
Решение:
Искомая работа равна:
Ответ: 4,5 Дж
4

5. Примеры

3
Вычислите массу участка стержня x1 = 0 до x2 = 1
(м), если его линейная плотность задается
формулой (х) = x2 + 1 (кг/м3).
Решение:
Согласно формуле, имеем:
Ответ: 1,33 кг
5