Осцилляторный потенциал + дельта-функция

1.

Осцилляторный потенциал + дельта-функция
в электрическом поле (ТВ для близких уровней)
Уравнение Шрёдингера для заряженной частицы в осцилляторном
потенциале+дельта-функция при наложении «слабого» однородного электрического поля
Hˆ
0
V ( x) E ( x)
Невозмущённый гамильтониан
2
2 2
ˆ
p
m
x
Hˆ 0
x , Hˆ 0 m(0) ( x) Em(0) m(0) ( x)
2m
2
Слабопроницаемый барьер
ao / m , k
1/ 2
2mE
2
,
m ao
2
,
kao
1
Энергии чётных (+) и нечётных (-) и уровней
E
( )
n
1 2k (0) ao
2n 1
2
(0)
2m
1 ( )
1
,
k
2
n
1
,
E
2
n
1
n
n
2
2
2

2.

«Возмущающий» потенциал
V ( x) qEel x
«Близкие» уровни в дублете (один и тот же номер n)
En( ) En( )
2k (0) ao
En( ) Em( )
n m
n m
n V n
n V m , n V m
Модифицируем теорию возмущений

3.

Исходные соотношения «невырожденной» теории возмущений
l cnl n(0)
n
cml El Em(0) Vmn cnl
n
Vml
c (0)
, m l
(0)
El Em
(1)
ml
Пусть два уровня
l1 , l2 «близки друг к другу».
Как модифицировать теорию возмущений?

4.

Нулевое приближение для волновой функции l1-ого уровня
l cl l l(0) cl l l(0)
1
11
1
21
2
Для удобства упростим обозначения
c1 1(0) c2 2(0)
Получить уравнение для коэффициентов ci?

5.

Уравнение Шрёдингера в нулевом приближении
c1 E1(0) V11 E V21c2 0
(0)
V
c
c
E
12 1 2 2 V22 E 0
Для рассматриваемого возмущения
V11 V22 0
V12 V21 n V n
Найти изменение уровней энергии и «правильные» волновые функции?
Указание: при вычислении в.ф. использовать новую переменную
tan
2V12
E1(0) E2(0)

6.

Уровни энергии
1
E E1(0) E2(0)
2
E
(0)
1
(0) 2
2
E
2
4 V12
Если диагональные элементы возмущения не равны нулю, то надо сделать замену
E1(0) E1(0) V11 , E2(0) E2(0) V22
Проверка: найти энергии в пределе
En( ) En( )
2k (0) ao
n V n
?

7.

Соотношение для коэффициентов в.ф.
c1( )
cot ,
( )
c2
2
c1( )
tan
( )
c2
2
«Правильные» волновые функции
( ) cos
1(0) sin
2
( ) sin
2
2
1(0) cos
2(0)
2
2(0)
Найти в.ф. в пределе
( )
n
E
( )
n
E
2k (0) ao
n V n
?

8.

«Отталкивание уровней»
Двукратно вырожденный уровень энергии
E1(0) E2(0) 0, V11 ,V22 0
E
( )
V11 V22 1
2
2
V11 V22
2
4 V12 , E
V11 V22
2
4 V12
Предположим, что недиагональный элемент «медленно» зависит от величины возмущения
Возмущение нарушает симметрию
невозмущённого гамильтониана –
вырождение снимается.
С увеличением возмущения уровни
«расталкиваются».
(0)
E ( ) E1 , E ( ) E2 , H1(2)1(2) E1(2)
V1(2)1(2)