Натуральный логарифм

1.

Если основанием логарифма служит число е, то
говорят, что задан натуральный логарифм. Для
натуральных логарифмов введено специальное
обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).
log e 2 ln 2
ln x log e x
ln1 0;
ln е 1;
ln е r ;
r
log e 7 ln 7
x;
ln x
log a x
.
ln a
е
ln x

2.

В курсе математического анализа доказано, что
для любого значения х>0 справедлива
формула дифференцирования
1
ln x
x

3.

Пример 4:
Вычислить значение производной функции
в точке x = -1.
y ln 3x 5
Решение:
1
3
y ' ln 3x 5 3
;
3x 5 3x 5
3
f ' 1
1,5.
3
( 1) 5
Ответ: 1,5

4.

y a
Дифференцирование функции
a e
x
x ln a
a e
x
ln a
( a ) (e
x
x ln a
) ln a e
x ln a
ln a a
x
(a )
a ln a
x
Например:
5
3 x
2
x
x
2 ln 2;
x
3 5 3 x ln 5.
4
x 5
x 5
4 ln 4.

5.

Дифференцирование функции
y log a x
ln x
1
y
(log a x)
ln x
ln a ln a
1
1 1
x ln a
ln a x
1
(log a x)
x ln a

6.

(e ) ' e
x
x
(a )
a ln a
x
1
ln x
x
x
1
(log a x)
x ln a

7.

ln( x 2 x )
3
4
log 4 sin x
log 2 ( x 1)
2
lg x
3 8x
3x 8 x
2
3
4
x 2x
x 2x
ctgx
cos x
sin x ln 4 ln 4
2x
2
( x 1) ln 2
1
1
2 x ln 10
2 x x ln 10
2
3