Механика. Динамика

1. I.Механика. Динамика

Запишем второй закон Ньютона для материальной точки
dp
F,
dt
где F - равнодействующая всех сил, действующих на точку.
Интегрируя это уравнение, можно определить приращение
импульса p за конечный промежуток времени t t t 0 :
p p p0
F t dt .
t
t0
Если F const , то p F t .
t
Выражения t Fdt и F t называются импульсом силы за промежуток времени t . Эти уравнения означают, что приращение импульса
тела за некоторый промежуток времени равно импульсу равнодействующей всех сил, действующих на это тело. Таким образом,
импульс, приобретаемое телом, зависит не только от величины
силы, но и от продолжительности ее действия. Это утверждение
можно проиллюстрировать следующим опытом.
0

2. I.Механика. Динамика

На нити подвешен тяжелый шар , снизу к нему прикреплена
такая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю нить,
то рвется верхняя. Это происходит потому, что в результате
незначительного смещения тела вниз деформация верхней
нити достигает предельно допустимого значения. При этом
непосредственно перед разрывом разность сил натяжения
Рис.11
T1 T2 уравновешивает вес груза и, таким образом T1 T2 . Если
же быстро дернуть за нижнюю нить, то рвется именно она, а
верхняя остается целой. Во втором случае передаваемый импульс
силы мал, а в первом – большой.
В предыдущей лекции была рассмотрена система N материальных
точек. Для i –ой точки второй закон Ньютона имеет вид:
dpi
Fi 1 Fi 2 ... Fi N Fi ,
dt
где Fi j - сила взаимодействия i –ой и j –ой точки, а Fi - внешняя
сила, действующая на i –ую точку. Запишем систему уравнений для
N материальных точек:

3. I.Механика. Динамика

dp1
F12 F13 ... F1N F1
dt
dp2
F21 F23 ... F2N F2
dt
................................
dpN
FN 1 FN 2 ... FN N 1 FN
dt
Просуммируем эти уравнения. Учитывая, что Fi j Fj i
результирующая всех внутренних сил будет равна нулю, тогда
получим: dp dp
N
dp
dP
1
2 ... N
F1 F2 ... FN Fi ,
dt
dt
N
dt
dt
i 1
где P p1 p2 ... pN pi - полный импульс системы.
i 1
Для системы тел результат
записывается в виде:
dP
dt
N
F
i 1
i
N
Если сумма внешних, действующих на систему равна нулю Fi
то такая система называется замкнутой. В замкнутой системеi 1
dP
0 и P const - импульс сохраняется.
dt
0,

4. I.Механика. Движение центра масс системы

Закон сохранения импульса – импульс замкнутой системы
сохраняется.
Если система не является замкнутой, но сумма проекций внешних
N
сил, например, на ось х равна нулю Fi x 0 , то сохраняется проекция импульса системы на эту ось Px i 1const .
Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства
– отсутствием в нем выделенных точек.
Движение центра масс системы
Определим положение центра масс системыN материальных точек:
mr
Скорость
N
i i
m1r1 m2r2 ... mN rN
rC
i 1
m1 m2 ... mN
m
drC
1 d N
1 N
p
m
r
p
,
центра масс равна: vC
i i
i
dt
m dt i 1 ,
m i 1
m
где p pi - полный импульс системы. Подставляя это выражение
i 1
N
в уравнение второго закона Ньютона для системы получим: F
i 1
i
0

5. I.Механика. Динамика

dp d mvC
maC
dt
dt
N
F
i 1
i
Центр масс движется как материальная точка под действием
всех приложенных внешних сил. Для замкнутой системы
центр масс движется прямолинейно равномерно или покоится.
Движение тел с переменной массой. Уравнение Мещерского.
Масса тела при его движении может изменяться. Примером
является ракета, состоящая из полезной нагрузки, корпуса, баков с
топливом и двигателя. Масса ракеты когда работают двигатели,
уменьшается за счет выброса газов, образовавшихся при сгорании
топлива. На рисунке схематично показана ракета, движущаяся в некоторой ИСО по прямой вдоль оси х, с постоянной относительно
ракеты скоростью истечения газов u . Пусть в отсутствие внешних
сил в момент времени t скорость
Ракеты равна v ( t ) , а ее масса M(t).
К моменту времени t+ dt масса
ракеты уменьшится и станет
Рис.12

6. I.Механика. Динамика

равной M+dM (dM < 0). Величина –dM равна массе газов, выброшенных из ракеты за время dt. Скорость ракеты увеличится на
величину dv и станет равной v dv. На основании закона
сохранения импульса, записанного для оси x, для моментов времени
t и t + dt получим:
M v ( M dM ) ( v dv) ( dM ) ( v u) .
Пренебрегая слагаемым dM dv будем иметь:
M dv udM 0.
Разделив обе части на dt , перепишем это соотношение в виде:
dv
dM
M
u
dt
dt
Получено уравнение движения ракеты в отсутствие внешних сил.
Обозначим величину dM (расход топлива), тогда реактивная
dt
dv
F
u
сила равна р
и M
Fр .
dt

7. I.Механика. Динамика

Если учесть равнодействующую внешних сил F , действующих на
ракету, то уравнение примет вид:
dv
M
Fр F .
dt
Это уравнение было получено Мещерским и носит его имя.
Примеры решения задач
Задача 15. На неподвижный бильярдный шар налетел другой
такой же с импульсом p = 0,5 кг∙м/с. После абсолютно упругого
удара импульс первого шара стал p1 = 0.4 кг м/с. Найдите импульс
p2 второго шара после удара.
Решение. Изобразим графически закон сохранения импульса
для абсолютно упругого удара шаров. Закон сохранения
энергии
для
2
2
2
упругого удара двух одинаковых шаров имеет вид p p1 p2 ,
2m 2m 2m
откуда угол a=90°.
Применяя теорему Пифагора, получим:
p2 p2 p12 0,3 кг м/с. Рис.13

8. I.Механика. Динамика

Задача 16. Снаряд, выпущенный со скоростью v0 = 100 м/с под
углом a 0 = 60° к горизонту, оказался дефектным и в верхней точке
траектории развалился на два одинаковых по массе осколка. Один
осколок начал падать вертикально вниз со скоростью v1= 57,7 м/с.
Определите, под каким углом к горизонту начал двигаться второй
осколок.
Решение. В верхней точке траектории скорость снаряда
направлена горизонтально и равна v0 cos a 50 м с . Закон сохранения
импульса имеет вид: p0 p1 p2.
Изобразим его графически:
Из Рис.14 видно, что
t ga
Рис.14
p1
mv1
v1
57, 7
0, 577, a 30 .
1
p0 2mv0 cos a0 2v0 cos a0 2 100
2

9. I.Механика. Динамика

Задача 17. Шар массой m = 0,5 кг, двигаясь со скоростью v0= 20
м/с, абсолютно упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку
так, что его скорость направлена под углом 60° к нормали. Найдите
импульс, полученный стенкой.
Решение. Введем систему координат, направив ось x вдоль стенки, а
ось y перпендикулярно ей (Рис.15). Разложим начальный вектор
импульса шара на две составляющих: вдоль стенки px mv0 sin a и
по нормали к ней py mv0 cosa. Составляющая импульса вдоль
оси x не меняется, а составляющая вдоль оси y при упругом ударе
изменится на величину py 2mv0 cosa кг м/с. Это и есть импульс,
полученный стенкой.
Рис.15

10. I.Механика. Динамика

Задача 18. Частица 1, двигающаяся со скоростью v1 12i 8 j
испытала неупругое столкновение с покоившейся частицей 2, в
результате чего образовавшаяся частица получила скорость
m2
3.
v 3i 2 j . Найдите отношение масс частиц
m1
Решение. Запишем закон сохранения импульса для неупругого
удара, где m1 масса первой частицы, v1 - ее скорость, m2 - масса
второй частицы, v скорость после неупруго удара. Подставляя
значения скоростей, получим:
m1(12i 8 j ) ( m1 m2 ) ( 3i 2 j ) ,
откуда
m2
3.
m1

11. I.Механика. Динамика

Задача 19. Стальной шарик массой m = 25 г, падая вертикально
на стальную плиту, перед ударом имел скорость v1 = 15 м/с, а после
удара v2 = 10 м/с. Удар длился t = 10 мс. Найдите среднюю силу
удара.
Решение. Импульс шарика при ударе изменился на величину
p mv2 ( mv1) m( v1 v2 ) .
В соответствии со вторым законом Ньютона средняя сила удара
p m( v1 v2 )
F
62, 5Н .
равна
t
t
Задача 20. На корме лодки массой mлодки 200 кг стоит человек
массой mчел 50 кг. Лодка плывет со скоростью v0 3 м/с. Человек
прыгает с лодки в горизонтальном направлении в сторону противоположную ее движению со скоростью vчел 2 м/с относительно
земли. Найдите скорость движения лодки после прыжка человека.
Сопротивлением воды пренебречь/

12. I.Механика. Динамика

Решение. На систему лодка и человек в горизонтальном
направлении действуют силы только в момент прыжка человека,
который происходит очень быстро. В остальное время сил нет,
поэтому в горизонтальном направлении импульс системы
сохраняется. Запишем его:
( mлодки mчел ) v0 mлодкиvлодки mчелvчел .
Откуда скорость лодки после прыжка равна:
( mлодк и mчел ) v0 mчелv чел
м
vлодк и
4, 25
mлодк и
с
Задача 21. На теннисный мяч, который летел с импульсом
p0 1,2 кг м/с, на короткое время 5 мс подействовал под углом
60° к направлению его движения подгоняющий порыв ветра со
средней силой воздействия на мяч F 100 Н. Найдите модуль
изменившегося импульса мяча.
Решение. Порыв ветра сообщил мячу импульс силы, равный F
(Рис.16). По теореме косинусов получим:

13. I.Механика. Динамика

Рис.16
p
к гм
p0 ( F ) 2p0F cos a 1, 51
.
с
2
2