Основные понятия и теоремы теории вероятностей. Тема 2. Часть 2

1.

ТЕМА 2 ЧАСТЬ 2
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пространство элементарных исходов.
Достоверные, невозможные, случайные события. Алгебра
событий. Сигма - алгебра событий. Аксиоматическое
определение вероятностей. Вероятностное пространство:
дискретное вероятностное пространство (примеры),
непрерывное вероятностное пространство (примеры).
Условные вероятности, теорема умножения вероятностей,
независимость событий, взаимная независимость событий.
Полная группа событий. Формула полной вероятности.
Формула Байеса. Повторные независимые испытания. Формула
Бернулли. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная
теоремы Муавра-Лапласа
Разработчик: доцент кафедры
математических методов и моделей в
экономике, кандидат экономических
наук Безбородникова Роза

2.

НЕПРЕРЫВНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Пусть - k-мерное евклидово пространство R k или k-мерная область в
этом пространстве и U – -алгебра, порожденная измеримыми областями в .
Каждому из поставим в соответствие числа p( ) , т.е. зададим на числовую
функцию, удовлетворяющую условиям:
1) неотрицательности: p( ) 0 ;
2) нормированности: p ( )d 1 .
Для любого события А U положим
P( A) p( )d .
(3)
A
Так определенная
пространство.
тройка ( ,U , P)
есть
непрерывное
вероятностное
2

3.

НЕПРЕРЫВНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Рассмотрим частный случай непрерывного вероятностного пространства.
Пусть - ограниченная k-мерная область, т.е. область, имеющая длину (при k=1),
площадь (при k=2), объем (при k=3) или гиперобъем (при k>3). Обозначим меру
области через , 0 . Пусть все элементарные события равновозможны.
1
Положим p ( )
. В этом случае согласно определению (3) получаем:
d A
,
(4)
P( A) p( )d
A
A
т.е. вероятность события А равно отношению площади (длины, объема,
гиперобъема) множества элементарных событий, благоприятствующих событию А,
к площади (длине, объему, гиперобъему) всего пространства элементарных
событий.
Рассмотренный частный случай дискретного вероятностного пространства
называется геометрическим вероятностным пространством, а определение
вероятности события (4) – геометрическим определением вероятности события.
3

4.

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Рассмотрим вероятностное пространство (