Уравнение линии

1.

2.

Уравнением линии на плоскости XOY
называется уравнение, которому удовлетворяют
координаты x и y каждой точки этой линии
и не удовлетворяют координаты любой точки,
не лежащей на этой линии.
В общем случае уравнение линии может быть
записано в виде
F ( x, y) 0
или
y f (x)

3.

Пусть задана прямая, пересекающая ось у в точке
В (0,в) и образующая с осью х угол α 0
2
Выберем на прямой произвольную точку
М(х,у).

4.

y
y
B
M
N
0
x
x

5.

Координаты точки N (x,в). Из треугольника BMN:
MN y b
tg
k
NB
x
k – угловой коэффициент прямой.
y kx b
1

6.

Рассмотрим частные случаи:
b 0
1
-
y kx
уравнение прямой,
начало координат.
2
проходящей
через
0 tg 0 y b
- уравнение прямой, параллельной оси х.

7.

3
2
tg
2
- не существует
т.е. у вертикальной прямой нет углового
коэффициента.
Уравнение прямой, параллельной оси у, в этом
случае имеет вид
x a
где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси х.

8.

Пусть задана прямая, проходящая через заданную
точку
M 1 ( x1 , y1 )
и образующая с осью х угол α
2

9.

y
y1
M1
0
x1
x

10.

Т.к. точка М1 лежит на прямой, ее координаты
должны удовлетворять уравнению (1):
y1 kx1 b
Вычитаем это уравнение из уравнения (1):
y y1 k ( x x1 )
2

11.

Если в этом уравнении угловой коэффициент не
определен, то оно задает пучок прямых,
проходящих через данную точку, кроме прямой,
параллельной оси у, не имеющей углового
коэффициента.
y
x

12.

Пусть задана прямая, проходящая через две точки:
M 1 ( x1 , y1 )
M 2 ( x2 , y2 )
Запишем уравнение пучка прямых, проходящих
через точку М1:
y y1 k ( x x1 )

13.

Т.к. точка М2 лежит на данной прямой, подставим
ее координаты в уравнение пучка прямых:
y2 y1 k ( x2 x1 )
y2 y1
k
x2 x1
Подставляем k в уравнение пучка прямых. Тем
самым мы выделяем из этого пучка прямую,
проходящую через две данные точки:

14.

или
y2 y1
x x1
y y1
x2 x1
y y1
x x1
y2 y1 x2 x1
3

15.

ПРИМЕР.
Составить уравнение прямой,
проходящей через точки А(-5,4) и
В(3,-2).

16.

РЕШЕНИЕ.
Подставляем координаты точек в уравнение
прямой, проходящей через две точки.
y 4 x 5
2 4 3 5
6
y 4 ( x 5)
8
3
1
y x
4
4

17.

Пусть задана прямая,
отсекающая на осях
координат отрезки, равные а и в.
Это значит, что она проходит через точки
A(a,0)
B(0, b)
Найдем уравнение этой прямой.

18.

y
B
b
A
0
a
x

19.

Подставим координаты точек А и В в уравнение
прямой, проходящей через две точки (3):
y 0 x a
b 0 0 a
y x a
b a
x y
1
a b
y
x
1
b a
4

20.

ПРИМЕР.
Составить уравнение прямой,
проходящей через точку А(2,-1) если она
отсекает от положительной полуоси у
отрезок, вдвое больший, чем на
положительной полуоси х.

21.

РЕШЕНИЕ.
По условию задачи,
b 2a
x
y
1
Подставляем в уравнение (4):
a 2a
Точка А(2,-1) лежит на этой прямой, следовательно
ее координаты удовлетворяют этому уравнению:
2 1
1
a 2a
1 4
1
2a
3
a
2
x y
1
1.5 3

22.

Рассмотрим уравнение:
Ax By C 0
5
Рассмотрим частные случаи этого уравнения и
покажем,
что
при
любых
значениях
коэффициентов А, В (не равных нулю
одновременно)
и С, это уравнение есть
уравнение прямой на плоскости.

23.

1
B 0
Тогда уравнение (5) можно представить в виде:
A
C
y x
B
B
Обозначим:
A
k
B
C
b
B
Тогда получаем уравнение (1):
y kx b

24.

B 0
2
A 0
C 0
Тогда уравнение имеет вид:
A
y x
B
- уравнение прямой, проходящей через начало
координат.
3
B 0
A 0
C 0
C
Получаем уравнение: y
B
- уравнение прямой, параллельной оси х.

25.

4
B 0
A 0
C 0
Тогда уравнение имеет вид:
- уравнение оси х.
5
B 0
A 0
Получаем уравнение:
y 0
C 0
C
x
A
- уравнение прямой, параллельной оси у.

26.

6
B 0
A 0
C 0
Тогда уравнение имеет вид:
x 0
- уравнение оси у.
Таким
образом,
при
любых
значениях
коэффициентов А, В (не равных нулю
одновременно)
и С,
уравнение (5) есть
уравнение прямой на плоскости.
Это