Гидродинамика и гемодинамика

1.

ГОУ ВПО Ивановская Государственная медицинская
академия агентства по здравоохранению и
социальному развитию.
Кафедра
физики,
математики и
информатики
Тема:
«Гидродинамика и гемодинамика»

2.

Вопросы
1.Уравнение неразрывности потока жидкости. Уравнение
Бернулли. Статическое и динамическое давление в потоке.
2. Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Коэффициент
вязкости. Классификация жидкости по вязким свойствам.
3. Уравнение Пуазейля-Гагена. Гидравлическое сопротивление.
4. Гидравлическое сопротивление. Распределение давления
при течении реальной жидкости по трубам постоянного,
переменного сечения и разветвлениям.
5. Ламинарное и турбулентное течение жидкости.

3.

Вопросы (продолжение)
6. Кровь как жидкость. Особенности протекания крови по сосудам.
7. Давление и скорость кровотока.
8. Пульсовая волна. Скорость распространения пульсовой волны.
9. Ударный объем крови. Работа и мощность сердца.
10. Резистивная модель ССС

4.

1. Уравнение неразрывности потока
S – площадь
сечения
V – скорость
Для любого сечения неразветвляющегося потока
идеальной жидкости произведение
V·S = Const
Следовательно: V1S1=V2S2
тогда
V1
V2
S2
S1
Вывод: в сужениях потока скорость увеличивается и
наоборот.
Величина Q=S·V
скоростью потока.
[м3/с] – называется объемной

5.

Уравнение Бернулли
P1,P2 – статическое
давление.
p – плотность жидкости.
Уравнение Бернулли
является следствием
закона сохранения
энергии в потоке
идеальной жидкости
для разных сечений.
P + ρgH + ρ(V2/2) = Const
Статическое
давл.
Гидростатическое
давл-е
Гидродинамическое
давл.

6.

Уравнение Бернулли
P + ρgH + ρ(V2/2) = Const
Для двух сечений потока, изображенного внизу:
2
1
2
2
V
V
P1 gH 1
P 2 gH 2
2
2
(1)

7.

Как работает уравнение Бернулли

8.

Важное следствие из уравнения
Бернулли для горизонтальной
трубы: h1=h2, следовательно уравнение
(1) упрощается до:
V12
V22
P1 gH 1
P 2 gH 2
2
2
V
V
P1 V2
P1
P2
2
2
P2 V1
2
1
2
2
(1)
2
(2)
ВЫВОД: так как в узких местах труб скорость увеличивается, то по
уравнению (2) статическое давление должно уменьшаться.
На рисунке вверху показано, что в узком месте уровень
манометрической трубки ниже , чем в более широких частях.

9.

Некоторые важные понятия гидродинамики
1. Линия тока – линия, проведенная в потоке жидкости
так, что
касательная к ней в каждой точке совпадает с
вектором
скорости.
2. Стационарное течение – характер течения, когда
вектор скорости
в каждой точке остается постоянным.
Картина линий тока в СТ не изменяется, а линии тока
совпадают с траекториями
частиц.
3. Трубка тока – часть жидкости ограниченная линиями
тока. Т. к.
вектор скорости касателен к линиям тока, то
он касателен и к трубке тока, т. е. частицы жидкости не
пересекают границ
трубки тока.
Трубка тока
Линия
тока

10.

2. Вязкость жидкости
Вязкость – или внутреннее трение жидкостей и газов,
возникающее вследствие межмолекулярного
взаимодействия.
На рисунке показаны два слоя
жидкости. Перемещение верхнего
слоя со скоростью V1 вызывают
перемещение второго слоя со
скоростью V2 < V1. Происходит это
из-за наличия сил сцепления
между молекулами слоя 1 и 2, это и
есть явление вязкого трения.
Сила взаимодействия между соседними слоями жидкости
определяется уравнением Ньютона:
dV
Fвязк S
dZ
S – площадь взаимодействующих слоев,
dV/dZ – градиент скорости , η – коэффициент вязкости
(динамическая вязкость).
(3)

11.

Коэффициент вязкости.
Из формулы (3) следует, что коэффициент вязкости
FdZ н с
2 Па с
SdV м
Это основной параметр, характеризующий вязкие
свойства жидкости ( газа).
Величина коэффициента вязкости зависит от рода и
температуры жидкости: у всех жидкостей с ростом
температуры динамическая вязкость уменьшается (у
газов – увеличивается).

12.

Другие коэффициенты вязкости
В физике иногда применяется понятие – кинематическая
вязкость.
Коэффициент кинематической вязкости
2
м
с
Этот параметр удобен тем, что не зависит от плотности жидкости
В биологии обычно пользуются понятием «относительная вязкость»
(по отношению к вязкости воды).
Коэффициент относительной вязкости
отн
H 2O
- величина безразмерная

13.

Ниже приведены коэффициенты вязкости
некоторых биологических жидкостей:
отн
Жидкость
η
ηотн
Вода
Этанол
Кровь (артериальная)
Кровь (венозная)
0,001
0,0012
0,0045
0,005
1,0
1,2
3,5-4,5
5,0-6,0

14.

Классификация жидкостей по вязким свойствам
ЖИДКОСТИ
ИДЕАЛЬНЫЕ
РЕАЛЬНЫЕ (ВЯЗКИЕ)
НЬЮТОНОВСКИЕ
НЕНЬЮТОНОВСКИЕ
ВЯЗКО-УПРУГИЕ
ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНЫЕ

15.

Классификация жидкостей по вязким свойствам
Идеальная жидкость – жидкость не имеющая
вязкости и абсолютно несжимаемая.
Идеальная жидкость – физическая абстракция.
Реальные жидкости обладают вязкостью, они в очень малой
степени поддаются сжатию.
Ньютоновская жидкость - реальная, вязкая жидкость.
Коэффициент вязкости у ньютоновских жидкостей не зависит
от градиента скорости. Следовательно, для данной жидкости
при неизменной температуре коэффициент вязкости –
величина постоянная, а сила вязкости прямо пропорциональна
градиенту скорости.

16.

Неньютоновские жидкости
У неньютоновских жидкостей коэффициент вязкости
зависит градиента скорости.
Если с ростом градиента скорости коэффициент
вязкости увеличивается, неньютоновская жидкость
называется вязкоупругой; если же с ростом градиента
скорости коэффициент вязкости уменьшается – то
вязкопластичной.
η
dV/dx

17.

Распределение скорости течения
ньютоновской жидкости по сечению сосуда

18.

3. Уравнение Пуазейля
- основное уравнение гидродинамики
R ( p2 p1 )
Q
8L
4
Где: Q – объемная скорость потока жидкости (м3/с)
Все остальные величины ясны из рисунка или из предыдущего
материала

19.

Как работает уравнение Пуазейля?

20.

4. Гидравлическое сопротивление
R ( p2 p1 )
Q
8L
4
p
p
Q
8L
R 4
Оставим в числителе только Δр остальное
вынесем в знаменатель:
8L Па с
R 4 м 3
ω – гидравлическое сопротивление потоку

21.

Гидравлическое сопротивление
I = U / R – закон Ома для участка электрической цепи
Q = Δp/ω – закон Пуазейля для участка гидравлической
цепи
Омическое сопротивление и гидравлическое похожи по
смыслу.
Омическое сопротивление пропорционально длине
проводника, обратно пропорционально площади поперечного
сечения и зависит от материала проводника.
Гидравлическое сопротивление пропорционально длине
участка трубы, обратно пропорционально радиусу трубы в
четвертой степени и зависит от свойств жидкости (вязкости) .
L
R
S
8 L
R 4
При последовательном соединении любых видов
сопротивлений, общее сопротивление увеличивается. При
параллельном соединении – уменьшается.

22.

Гидравлическое сопротивление
Посмотрим на эти формулы внимательнее:
L
L
R 2
S
R
8L
8L
2 2
4
R
R R
У гидравлического сопротивления зависимость от
радиуса сосуда сильнее (R4) в отличие от омического
сопротивления (R2)

23.

Гидравлическое сопротивление
При разветвлении гидравлической системы уменьшается
радиус каждой ветви, а гидравлическое сопротивление
увеличивается.
ω1
8 L
8 L
R 4 R 2 R 2
ω1< ω2
ω2

24.

5. Характер течения жидкости по сосудам
1. Ламинарное (спокойное) течение – это
стационарное течение, векторы скорости
жидкости при котором, в любом сечении
параллельны
Такой характер течение жидкости имеется при относительно
небольших скоростях в трубах с гладкими стенками при
отсутствии множественных разветвлений.
В норме течение крови по сосудам имеет ламинарный характер

25.

Характер течения жидкости по сосудам
2. Турбулентное течение. Это вихревое течение, в котором
нельзя выделить слои. Частицы жидкости движутся
хаотично и скорость движения их постоянно изменяется.

26.

ЧИСЛО РЕЙНОЛЬДСА
Характер течения жидкости определяется критерием
Рейнольдса (безразмерная величина):
где: η - коэффициент
динамической вязкости,
ρ – плотность жидкости,
D – диаметр сосуда,
Re – число Рейнольдса
Переход от ламинарного течения к турбулентному
происходит при достижении определенной скорости потока,
которая может быть вычислена по приведенной формуле:

27.

Два важных вывода из вышеизложенного
1. Из предыдущей формулы следует, что при
увеличении диаметра сосуда, турбулизация потока
наступит при меньшей его скорости.
2. При перекрытии потока (уменьшении сечения до 0)
скорость в этом месте возрастает и поток в любом
случае становится турбулентным, разумеется на
некоторое время.
У клапанов сердца поток крови турбулентный,
завихрения крови создают шум, который
хорошо прослушивается даже фонендоскопом.
Исследование шумов сердца является
областью диагностики ССС, получившей
название – фонокардиография. Есть и другие
применения звуковых методов исследования
потоков крови.

28.

6. Элементы гемодинамики
Гемодинамика – раздел биофизики, изучающий текучесть и
деформацию крови в сосудистой системе.
Кровь состоит из плазмы и форменных элементов
(эритроциты -93%, лейкоциты и тромбоциты – 7%) –
неньютоновская (вязкопластичная) жидкость.
Плазма – коллоидная суспензия белков в электролите из
ионов неорганических и органических кислот- ньютоновская
жидкость.
В норме вязкость крови: в аорте ≈ 3,5, плазмы – 2 ед.
На вязкость крови сильно влияет объемная концентрация
эритроцитов в плазме – т.н. гематокрит (Г).
Г=Vэритроцитов / Vплазмы.
Норма Г = 0,4.. С увеличением гематокрита (доли
эритроцитов), увеличивается вязкость крови.

29.

Элементы гемодинамики
Т.к. у стенок скорость крови меньше, чем в
центре, а по закону Бернулли давление больше у
стенок, то эритроциты скапливаются в центре
потока. А у стенок остается в основном плазма

30.

Элементы гемодинамики
Гем
0
аток пла
рит зма
2
η
0,2
0,4
0,6
2,2
3,3
5,5
В венах увеличивается
концентрация СО2 в
крови. Объем
эритроцитов
увеличивается,
соответственно
увеличивается вязкость
крови.
Размеры эритроцитов ≈
равны диаметру
капилляров. Эритроцит в
капилляре
деформируется, но
мембрана эритроцита не
рвется из-за высокой
прочности и эластичности.
Примерная схема движения крови по капиллярам приведена на рисунке,
однако механизм движения эритроцитов по капиллярам математически
описать весьма сложно

31.

Кровь – неньютоновская жидкость
Монетные столбики

32.

Влияние эластичности стенок сосудов
Вторая особенность – влияние эластичности стенок
сосудов на распределение давления в потоке крови.
Сосуды с эластичными стенками гасят пульсации давления и
поток жидкости из пульсирующего постепенно становится
непрерывным.

33.

Гидравлическая модель
сердечно-сосудистой
системы
Начальное давление, необходимое для
движения крови по всей ССС, создается
работой сердца. Сердце это циклически
действующий насос, у которого рабочая
фаза (сокращение мышцы –систола)
чередуется с холостой фазой
(расслабление – диастола).
При каждом сокращении левого
желудочка в аорту, уже заполненную
кровью выбрасывается т.н. ударный
объем (60-70мл). Волна повышенного
давления крови быстро
распространяется по артериальной
части СС и вызывает колебания более
дистальных отделов.
Затем стенки аорты постепенно
сокращаются до первоначального
состояния (диастола).

34.

7. Давление и скорость кровотока

35.

Давление и скорость кровотока
Давление в кровеносной системе
максимально а аорте, затем в
соответствии с законом Пуазейля
постепенно падает.
Сопротивление току крови, а
следовательно , и падение
давления на различных участках
различно. Оно зависит от
разветвлений и суммарного
просвета сосудов.
Например, наибольшее падение давления, не менее чем на 50%
начальногопроисходит в артериолах. Число артериол в сотни раз больше,
чем крупных артерий при сравнительно небольшом увеличении
суммарного поперечного сечения. Поэтому потери давления здесь весьма
велики.
Общее число капилляров еще больше, однако длина их настолько мала.
Что падение давления в них велико, но меньше, чем в артериолах.

36.

Давление и скорость кровотока
Давление в полой вене,
как видно из графика
имеет отрицательное
значение (вакуум).
Военные врачи знают на
сколько опасно ранение
полой вены. Которая
засасывает воздух (что
опасно само по себе), но и
грязь вместе с ним.
Скорость крови максимальна в крупных артериях, по мере
разветвления, а следовательно увеличения просвета, скорость
падает до 0,05 см/с (капилляры). Затем по мере сужения венозной
части системы скорость крови увеличивается до 25 см/с.

37.

8. Пульсовая волна
Волна давления, распространяющаяся по сосудам ССС носит
название пульсовой волны. Скорость распространения ПВ
велика и составляет 6-8 м/с. Для сравнения: скорость крови в
крупных артериях -0,3 – 0,5 м/с.
За время систолы (0,3с) пульсовая волна достигает
конечностей, т.е. раньше, чем начнется спад давления в аорте.
Скорость пульсовой волны в крупных сосудах определяется
формулой Моенса-Кортивега:
v
E h
d
Где: Е – модуль упругости стенки сосуда
h - толщина стенки
ρ – плотность ткани сосуда
d – диаметр сосуда

38.

9. Работа сердца
Работа при однократном сокращении левого желудочка:
Ал = рVуд + ρVуд v2/2
Работа левого и правого желудочнов:
А = Ал + 0,2Ал = 1,2 (рVуд + ρVуд v2/2)
р = 13 кПа, Vуд = 60 мл. ρ = 1,05 ·103 кг/м3 тогда А = 1 дж – работа
разового сокращения в состоянии покоя.
Средняя мощность за одно сокращение (время систолы 0,3с) W
= Ф/tc = 3.3 вт.
При нагрузках работа сердца может увеличиться в несколько
раз

39.

10. Резистивная модель сердца
Мы уже проводили аналогию между гидравлическими и
электрическими процессами.
Этот факт используют для исследования ССС на электрических
моделях, что значительно проще, чем работать на живом человеке.
Простейшая электрическая модель ССС представлена на рисунке.
Здесь U –источник ЭДС, моделирует сердце как источник
несинусоидальных пульсаций давления.
В –выпрямитель является аналогом
сердечного клапана. R – резистор
электрический аналог периферической
сосудистой системы. С- конденсатор
моделирует эластичность стенок
крупных сосудов, он сглаживает
пульсации тока (т.е. давления).