Средние величины

1. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Средние величины это обобщающие
показатели, в которых находят выражение
действия общих условий, закономерности
изучаемых явлений.
Статистические средние рассчитываются на
основе массовых данных.

2.

Выделим следующие понятия и обозначения:
- осредняемый признак (признак по которому
Х находится средняя);
или х1, х2, …,хn – индивидуальное значение
Х i осредняемого признака у каждой единицы или
вариант;
- частота - повторяемость
индивидуальных значений признака (его
f i вес);
Wi
- частность – относительная частота, т.е. отношение
частоты повторения индивидуального значения
признака к сумме частот.
Wi
fi
n
i 1
fi
n – число вариантов.

3.

а) Средняя арифметическая
n
Х
х
i 1
- средняя арифметическая простая;
i
n
n
x
Х
i 1
n
n
X
x w
i 1
n
средняя
взвешенная;
арифметическая
i
w
i 1
fi
fi
i 1
i
i
i
- средняя арифметическая доли

4.

Например: определить среднюю заработную плату
работников турфирмы, если имеются следующие
данные:
Заработная плата
работников, тыс. руб.
до 5
5-7
7-9
9-11
свыше 11
Число человек
5
7
8
11
9

5. Решение:

Для вычисления средней заработной платы составим
расчетную таблицу:
Заработная плата
работников, тыс.
руб.
Число
человек
до 5
5-7
7-9
9-11
свыше 11
Итого
5
7
8
11
9
40
Расчетные
показатели
Х
4
6
8
10
12
-
Х f i
20
42
64
110
108
344

6.

Определим среднюю заработную плату по формуле
средней арифметической взвешенной:
n
Х
x
i 1
n
i
f
i 1
fi
i
Получаем:
344
Х
8,6
40
тыс. руб. – средняя
заработная
плата
работников турфирмы.

7. Основные свойства средней арифметической:

1. Средняя от постоянной величины равна ей самой:
А А
2. Произведение средней на сумму частот равно сумме
произведений вариантов на частоты:
Х f xf

8.

3. Изменение каждого варианта на одну и ту же
величину изменяет среднюю на ту же величину:
х А f
f
X A
4. Изменение каждого варианта в одно и то же число
раз изменяет среднюю во столько же раз:
Axf
f
AX

9.

5. Изменение каждого из весов в одно и то же
количество раз не изменяет величины средней:
х Af A xf xf
Af A f f
X
6. Алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от
средней равна нулю:
x X f
0

10.

7. Средняя суммы равна сумме средних:
X Y X Y
8. Сумма квадратов отклонений вариантов от
средней арифметической меньше, чем от любой
другой величины:
x
X
2
min

11.

б) Средняя гармоническая
Средняя гармоническая – это величина, обратная
средней арифметической. Она применяется, когда
статистическая информация не содержит частот по
определенным
вариантам
совокупности,
представлена как их произведение.
X
n
n
1
i 1 x i
- средняя гармоническая простая;

12.

n
Х
fi
fi
xi
i 1
n
i 1
средняя
гармоническая
взвешенная (можно определить
частоту или вес);
n
Х
w
i 1
n
i 1
i
wi
xi
- средняя гармоническая
доли (можно определить
частность)

13.

Например: Определить среднюю цену изделия, если:
Вид
изделия
А
Цена
одного Стоимость
изделия,
тыс. всех изделий,
руб.
тыс. руб.
4
80
Б
8
240
В
10
600

14.

Воспользуемся средней гармонической:
n
Х
fi
fi
xi
i 1
n
i 1
Средняя цена изделия:
80 240 600
Х
8,364
80 240 600
4
8
10
тыс. руб.

15. Определить среднюю во многих случаях удобнее через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

ИСС
Суммарное значение или объем осредняемо го признака
Число единиц или объем совокупности

16. Пример: Рассчитать среднюю заработную плату работников в целом по трем предприятиям сферы обслуживания.

Численность
персонала,
чел.
Месячный фонд
заработной
платы, тыс. руб.
1
540
275
458
1273
2
5648,4
3327,5
5175,4
14151,3
Средняя
заработная
плата, тыс.
руб.
3
10,46
12,10
11,30

17.

Средняя заработная плата может быть получена
через следующее соотношение:
ИСС
Совокупный фонд заработной платы
Общая численность персонала
1. Предположим, что мы располагаем только
данными гр. 1и 2 ., тогда:

18.

14151,3
Х
11,12
1273
тыс. руб.
2. Если мы располагаем данными о средней заработной
плате и численности работников (гр. 1 и 3), то средняя
может быть рассчитана следующим образом:

19.

10,46 540 12,10 275 11,30 458
Х
11,12
1273
тыс. руб.
3. Допустим , что в нашем распоряжении только
данные о фонде заработной платы и средней
численности персонала (гр. 2 и 3), средняя заработная
плата:

20.

14151,3
Х
11,12
5648,4 3327,5 5175,4
10,46
12,10
11,30
тыс. руб.

21. в) Средняя геометрическая

Средняя геометрическая величина используется также
для определения равноудаленной величины от
максимального и минимального значений признака.
Х x1 x2 ... xn
n

22.

Например, страховая фирма заключает договоры на
оказание клиентам различных услуг медицинского
страхования.
В
зависимости
от
категории
медицинского учреждения, ассортимента услуг,
конкретного рискового случая страховая сумма
выплат может изменяться от 100 до 10000 долл. В
год.
Средняя сумма выплат по страховке:
100 10000 1000
долл.

23. г) Средняя квадратическая

Формула средней квадратической используется для
измерения степени колеблемости индивидуальных
значений признака вокруг средней арифметической в
рядах распределения.
Х
X
n
2