Формулы сложения. Тригонометрические формулы

1.

Формулы сложения
Тригонометрические формулы

2.

Повторение
M1 (cos α; sin α)
M2 (cos(-α); sin(-α))
1.
2.
3.
4.
5.
sin(-α) = ?
cos(-α) = ?
tg(-α) = ?
ctg(-α) = ?
sin2(α) + cos2(α) = ?
y
M1
sin α
0
sin(-α)
α
-α
P (1;0)
cos α
M2
x

3.

Запишите какой знак имеет
выражение:
cos 315 ; sin 245 ; sin 103 cos112
0
0
0
0
-
+
sin 189 ; cos 279 ; sin 247 cos123
0
0
0
0

4.

Формулы сложения
Формулами сложения называют формулы,
выражающие cos(α ± β) и sin(α ± β) через косинусы и
синусы углов α и β.
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin

5.

Теорема
Для любых α и β справедливо равенство cos(α + β) = cos α cos β –
- sin α sin β
Mα+β
По определению:
Mα (cos α; sin α)
M-β (cos(-β); sin(-β))
Mα+β (cos(α+β); sin(α+β))
∠M0OMα+β = ∠M-βOMα
⇒ △M0OMα+β = △M-βOMα
⇒ основания M0Mα+β = M-βMα равны
А значит равны (
) и(
M-βMα 2
)
M0Mα+β 2
y
Mα
M0(1;0)
x
0
M-β

6.

Теорема
Имеем:
M0 (1; 0)
Mα (cos α; sin α)
M-β (cos(-β); sin(-β))
Mα+β (cos(α+β); sin(α+β))
(M0Mα+β)2 = (M-βMα)2
⇒ (1 - cos(α+β))2 +(sin(α+β))2 = (cos(-β) - cos α)2 +
+ (sin(-β) - sin α)2
⇔ 1 - 2cos(α+β) + cos2(α+β) + sin2(α+β) = cos2 β - 2cos β cos α + cos2 α + sin2 β + 2sin β sin α + sin2 α
⇔ 2 - 2cos(α+β) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β
⇔ cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β

7.

Следствие 1
cos(α - β) = ?
cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos α cos(-β) - sin α sin(-β)=
= cos α cos β + sin α sin β
cos(π/2 – α) = sin α
sin(π/2 – α) = cos α
cos(π/2 – α) = cos(π/2) cos α + sin(π/2) sin α = sin α
т.е. cos(π/2 – α) = sin α
При α = π/2 – β имеем:
cos(π/2 – α) = cos(π/2 – π/2 + β) = cos β = sin α = sin(π/2 – β)
т.е. sin(π/2 – β) = cos β

8.

Следствие 1
sin(α + β) = cos (π/2 - (α + β)) = cos((π/2 - α) - β) =
= cos(π/2 - α) cos β + sin(π/2 - α) sin β =
= sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin(α + (-β))= sin α cos(-β) + cos α sin(-β)=
= sin α cos β - cos α sin β
Таким образом,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

9.

Следствие 2
Можно вывести аналогичные формулы для tg(α ± β) и
ctg(α ± β).
tg(α ± β) = sin(α ± β) / cos(α ± β) =
=(sin α cos β±cos α sin β)/(cos α cos β ∓ sin α sin β)=
= (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α tg β)
Аналогично
ctg(α ± β) = (ctg α ctg β ∓ 1) / (ctg β ± ctg α

10.

Вычислить:
cos 75° (представим число 75 в виде слагаемых
30 и 45, запишем) = cos (30° + 45°) =
(воспользуемся формулой cos суммы углов) =
cos 30°cos 45° - sin 30°sin 45° = (подставим
табличные значения sin и cos)
6
4
−
2
4
=
6− 2
4
3
2
∗
2
2
−
1
2
∗
2
2
=

11.

Вычислить:
cos 15° (представим число 15 в виде разности
чисел 45 и 30, запишем) = cos (45° - 30°) =
(воспользуемся формулой cos разности углов) =
cos 45°cos 30° + sin 45°sin 30° = (подставим
табличные значения sin и cos)
6
4
+
2
4
=
6+ 2
4
2
2
∗
3
2
+
2
2
1
2
∗ =

12.

Вычислить:
sin 210° (представим число 210 в виде суммы
чисел 180 и 30, запишем) = sin (180° + 30°) =
(воспользуемся формулой sin суммы углов) =
sin 180°cos 30° + cos 180°sin 30° = (подставим
табличные значения sin и cos) 0 ∗
−
1
2
3
2
1
2
+ −1 ∗ =

13.

Вычислить:
sin
8