Геометрические приложения определенного интеграла

1.

1
Пусть функция y=f(x) –неотрицательная и
непрерывна на [a,b]. Тогда площадь под кривой
y=f(x)
численно
равна
определенному
интегралу от этой функции на [a,b].
b
S
a
f ( x) dx

2.

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
x
y,
x 0,
y 4

3.

y
x y
A
0
x 0
B
C
y 4
x

4.

S ABC SOABC SOBC
Находим координаты точки В:
y 4
x y
Тогда
y 4
x 2
B(2,4)
2
SOABC
4dx 4 x
2
0
8
0
3 2
2
S OBC
S ABC
x
x dx
3
0
2
0
8
3
8 16
8
( кв.единиц )
3
3

5.

2
Пусть функция y=f(x) – неположительная и
непрерывна на [a,b]. Отражая кривую y=f(x)
относительно оси абсцисс, получаем кривую с
уравнением y=-f(x).
Функция y=-f(x) – уже неотрицательна на [a,b]
и площадь под этой кривой на [a,b] равна
искомой площади.
b
S f ( x)dx
a

6.

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
y x ,
2
y 0,
y x 2

7.

y
y x 2
y 0
0
C
A
B
x
y x2

8.

SОАВ – это площадь над кривой ОАВ на отрезке
[0;2]. Но эта кривая задается не одним
уравнением, поэтому разбиваем площадь ОАВ
на части, проецируя точку А на ось х.
SOBA SOAC SCAB
Находим координаты точек О(0,0), В(2,0), А(1,-1).
3 1
1
S OAC
x
( x )dx
3
0
2
2
x
1
( x 2)dx 2 x
2
1 2
1
2
S ABC
0
1
3
S OBA
2
1 1 5
( кв.единиц )
3 2 6

9.

3
Пусть функция y=f(x) – непрерывна на [a,b] и
исходный
отрезок
можно
разбить
на
определенное число интервалов, таких что на
каждом из них y=f(x) знакопостоянна или равна
0.
Тогда общая площадь под кривой будет равна
сумме площадей на каждом из отрезков
разбиения:
S S1 S2 ... Sn

10.

y
y f (x)
1
a
3
c
2
d
b
x

11.

S S1 S 2 S 3
c
a
d
b
c
d
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx

12.

4
Пусть на [a,b] заданы непрерывные
функции y=f1(x) и y=f2(x), такие что
f 2 ( x) f1 ( x)
Тогда площадь фигуры, заключенной
между кривыми y=f1(x) и y=f2(x) на [a,b]
находится по формуле:
b
S
f
a
2
( x) f1 ( x) dx

13.

Проиллюстрируем эту теорему
Рассмотрим несколько случаев.
графически.
1
f 2 ( x) f1 ( x) 0

14.

y
y f 2 ( x)
B
A
B1
A1
a
y f1 ( x)
b
x

15.

S S aABb S aA1B1b
b
b
a
a
f 2 ( x)dx f1 ( x)dx
b
f 2 ( x) f1 ( x) dx
a

16.

2
0 f 2 ( x) f1 ( x)

17.

y
a
b
y f 2 ( x)
B
A
B1
A1
y f1 ( x)
x

18.

S S aA1B1b S aABb
b
f1 ( x)dx f 2 ( x)dx
a
a
b
b
f 2 ( x) f1 ( x) dx
a

19.

3
f 2 ( x ) f1 ( x)
f 2 ( x) 0
f1 ( x) 0

20.

y
y f 2 ( x)
B
A
a
A1
b
B1
y f1 ( x)
x

21.

S S aABb S aA1B1b
b
b
a
a
f 2 ( x)dx f1 ( x)dx
b
f 2 ( x) f1 ( x) dx
a

22.

4
Общий случай.
Этот случай сводится к рассмотренным случаям
1-3, если разбить отрезок [a,b] на элементарные
отрезки.

23.

y
y f 2 ( x)
d
a
c
y f1 ( x)
b
x

24.

Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
y x 2,
2
y x

25.

y
y x 2
y x
2
1
2
x

26.

Находим координаты точек пересечения линий:
y x2 2
2
x
x 2 0 x1 1, x2 2
y x
Следовательно, линии пересекаются в точках
( 1, 1), (2,2)
f1 ( x) x 2,
2
f 2 ( x) x
2
x x
S ( x x 2)dx 2 x 4,5
2 3
1
1
2
2
2
3
кв.ед.

27.

Пусть функция y=f(x) –знакопостоянная и
непрерывна на [a,b]. Найти объем тела Vх,
образованного
вращением
вокруг
оси
х
криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
y=f(x), y=0, x=a, x=b.
Разобьем [a,b] на элементарные отрезки точками
x0 , x1 , x2 ,..., xn
и на каждом из отрезков выберем точку ξi. Найдем
значение функции в этой точке f ( i )

28.

y
y f (x)
f ( i )
a xi 1
i
xi
b
x

29.

Тогда некоторое приближение
объема даст сумма
для
искомого
n
2
f
( i ) xi
i 1
Так как каждое слагаемое это объем цилиндра с
высотой
xi xi xi 1
и радиусом основания
f ( i )
Искомый объем будет тем точнее, чем меньше
длина отрезков разбиения xi
Поэтому за объем естественно выбрать

30.

Vx
n
lim
max xi 0
f
i 1
2
( i ) xi
Правая часть выражения представляет собой
предел интегральной суммы функции
f ( x)
2
Поэтому
b
Vx f ( x)dx
2
a

31.

Вычислить объем тела,
полученного от вращения вокруг оси
абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
x
y e ,
y 0,
x 0,
x 1

32.

y
y e x
1
x

33.

1
Vx e
0
2 x
1 2 x
dx e
2
1
1 2 1.36
2
e
1
0
( куб .единиц )

34.

Если заменить х на у, то получим формулу для
вычисления объема тела, полученного от
вращения криволинейной трапеции вокруг оси у.
d
Vy ( y)dy
2
c

35.

Вычислить объем тела,
полученного от вращения вокруг оси
ординат фигуры, ограниченной линиями:
y x ,
2
y x
3

36.

y
y x3
y x
1
1
2
x

37.

V y V y1 V y 2
V y1 ограничен линиями x 3 y , x 0, y 1
V y 2 ограничен линиями x y , x 0, y 1
1
2
3
3
Vy1 y dy y
5
0
0
3
5
1 2
ydy y
2
2
0
0
1
Vy 2
5 1
3
1
3
1
V y 0.1 (куб .единиц )
5
2