Правильные многоугольники

1. Правильные многоугольники

2. Определение правильного многоугольника

Правильным многоугольником называется
выпуклый многоугольник, у которого
все углы равны и все стороны равны

3. Правильные треугольник и четырехугольник

Равносторонний
треугольник
Квадрат
Ромб не является правильным
четырехугольником. Почему?

4. Правильные n-угольники

n=5
n=7
n=6
n = 10
n=8
n = 12

5. Сумма углов многоугольника

Сумма углов выпуклого многоугольника
вычисляется по формуле: ∑углов n-уг.= 1800 (n - 2)
Сумма углов выпуклого семиугольника равна:
∑углов 7-уг . = 1800 · (7 - 2) = 9000
Сумма углов выпуклого одиннадцатиугольника
равна: ∑углов 11-уг . = 1800 · (11 - 2) =16200

6. Нахождение градусной меры угла правильного n - угольника αn

Кол-во
сторон n
Сумма всех углов
∑углов
n-уг.
Величина одного угла
αn
180 (n 2)
n
n
С.У.n= 1800(n-2)
n
8
1800 (8-2)=10800
10800 : 8=1350
10
1800 (10-2)=14400
14400 :10=1440

7. Внешний угол правильного n - угольника

Внешний угол – это угол, смежный с внутренним.
Сумма внешних углов любого многоугольника равна 3600.
Внешний угол правильного n-угольника равен
360 0
n

8. Задача. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его угол равен 1500?

1 способ
2 способ
n-количество сторон
Внешний угол
многоугольника равен
1800 – 1500 = 300.
Сумма углов равна
1800 (n-2) или 1500n
Имеем уравнение:
n-количество сторон, углов
1800(n-2)=1500n
1800n-360=1500n
30n = 360
n = 12
n = 3600 : 300 = 12

9. Правильный многоугольник и окружность

А3
4
О
1
3
2
Теорема.
Около любого
правильного
Около правильного
многоугольника
многоугольника
можно
описать
можно
описать
окружность,
окружность, и притом только одну.
и только одну.
А2 Единственность: так как через какиеокружности
–
нибудь Центр
три вершины
многоугольника
точка пересечения
биссектрис
(например.
А1, А2, А3) проходит
только
одна
окружность,
то
около
многоугольника
можно
описать только
Радиус
– отрезок,
соединяющий
центр
Пусть точка О – точка
пересечения
биссектрис
углов
А
одну
окружность
1 и А2
с любой
вершиной многоугольника
А1
Δ А1А2О – равнобедренный (почему?)
Δ А1А2О = Δ А2А3О (почему?)
Аналогично ОА3 = ОА4,
ОА1 = ОА2
ОА2 = ОА3
ОА4 = ОА5
….
Вывод ОА1 = ОА2= ОА3 = ОА4 = ОА5 = …. Точка О равноудалена
от всех вершин многоугольника, О центр - описанной
окружности

10. Правильный многоугольник и окружность

О
Н3
Аn
А3
Н2
Теорема. В правильный
многоугольник можно вписать
окружность, и притом только одну.
Единственность: Предположим, что
существует еще одна окружность,
А1 Н1 А2
вписанная в многоугольник. Её центр О1
равноудален от сторон
Пусть О – центр описанной
окружности то есть точка О
многоугольника,
лежит
Δ А1А2О = Δ А2А3О= Δ А3А4О
= ... на каждой из биссектрис углов
многоугольника и, следовательно,
ОН1, ОН2, ОН3, … высотысовпадает
этих треугольников
ОН1=ОН2=ОН3=…
с точкой О пересечения
этих (?)
биссектрис. Радиус второй окружности
Вывод ОН1 = ОН2= ОН3 равен
= ОНрасстоянию
…. ООкружность
с
4 = ОН5 = от
до сторон
центром О и радиусом ОН1
проходит черезто
точки
Н2,ОН1.
Н3, …
многоугольника,
естьН1,
равен
и касается многоугольника
в этих окружность
точках, тосовпадает
есть эта
Т.О. Вторая
с
окружность вписана в многоугольник.
первой.

11. Правильный многоугольник и окружность

Центр окружности, описанной около
правильного многоугольника, –
точка пересечения биссектрис
Радиус – отрезок, соединяющий центр с
любой вершиной многоугольника
Центр окружности, вписанной в
правильный многоугольник, –
точка пересечения биссектрис
Радиус – перпендикуляр, опущенный из
центра на сторону многоугольника
Окружность, вписанная в правильный
многоугольник, касается сторон
многоугольника в их серединах

12.

Метрические соотношения
в правильном многоугольнике
S площадь правильного n угольника
А1 А2 an сторона правильного n угольника
Р периметр правильного n угольника
О
ОА1 R радиус описанной окружности
ОН r радиус вписанной окружности
P an n
А1
Н
А2
S
an r
a n
P
n n r r p r
2
2
2
3600
A1OA2
n
3600
3600
2
R R sin
nR sin
n n
n
S
2
2

13.

Метрические соотношения
в правильном многоугольнике
S площадь правильного n угольника
А1 А2 an сторона правильного n угольника
Р периметр правильного n угольника
О
ОА1 R радиус описанной окружности
ОН r радиус вписанной окружности
А1
Н
А2
an
a
180 0 A1 H
sin
2 n
n
OA1
R 2R
180 0
an 2 R sin
n
3600
A1OA2
n
an
a
180
AH
tg
1 2 n
n
OH
r
2r
1800
an 2r tg
n
0
1800
A1OН
2
n
1800 OH r
cos
n
OA R
1800
r R cos
n

14. Правильный многоугольник и окружность

an сторона правильног о n угольника
R радиус описанной окружности
О
S площадь многоуголь ника
R
an 2 R sin
180
n
0
an
R
1800
2 sin
n
360
n R sin
n
Sn
2
2

15. Правильный многоугольник и окружность

an сторона правильного n угольника
R радиус описанной окружности
r
О
r радиус вписанной окружности
Р периметр правильного n угольника
S площадь правильного n угольника
Р an n
1800
an 2r tg
n
an
r
1800
2tg
n
180 0
r R сos
n
Р r
Sn
2

16. Правильный многоугольник и окружность

an сторона правильного n угольника
R радиус описанной окружности
r радиус вписанной окружности
S n площадь правильного n угольника
n
R
r
аn - сторона
n=3
n=4
n=6
r
a
R
3
a
R
2
а
r
Sn
an
1800
2tg
n
a
2 3
a
r
2
a 3
r
2
Sn
Рn r
2
a2 3
S
4
S a2
3 3 a2
S
2