Правильные многоугольники

1.

ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ

2. Из истории

•Правильные многоугольники были известны еще в глубокой
древности. В египетских и вавилонских старинных
памятниках встречаются правильные четырехугольники,
шестиугольники и восьмиугольники в виде изображений на
стенах и украшений, высеченных из камня.
•Древнегреческие ученые стали проявлять большой интерес к
правильным многоугольникам еще со времен Пифагора.
•Учение о правильных многоугольниках было
систематизировано и изложено в 4 книге «Начал» Евклида.

3.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК
Правильным многоугольником называется
выпуклый многоугольник, у которого все
углы равны и все стороны равны.

4. Виды многоугольников

Выпуклый
Невыпуклый

5. Выпуклые многоугольники

6. Невыпуклые многоугольники

7. Правильные многоугольники

все углы равны
все стороны равны
все углы равны и все стороны равны

8.

Сумма углов правильного n-угольника
(n 2) 180
0
n
(n 2) 180
n
n
Угол правильного n-угольника
0

9. Решаем задания №1

10.

Вписанная и описанная окружность
Окружность называется вписанной в
многоугольник,
если все стороны многоугольника
касаются этой окружности.
Окружность называется описанной
около многоугольника, если все его
вершины лежат на этой
окружности.

11.

Вписанная и описанная окружность
Окружность, вписанная в
правильный многоугольник,
касается сторон многоугольника
в их серединах.
Центр окружности, описанной
около правильного многоугольника,
совпадает с центром окружности,
вписанной в тот же многоугольник.

12.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Площадь правильного многоугольника
1
S
Pr
2
Сторона правильного многоугольника
180
an 2 R sin
n
0
Радиус вписанной окружности
180
r R cos
n
0

13.

Группа 1
Дано: R, n=3
Найти: а
Группа 2
Дано: R, n=4
Найти: а
Группа 3
Дано: R, n=6
Найти: а
Группа 4 Дано: r, n=3
Найти: а
Группа 5 Дано: r, n=4
Найти: а
Группа 6
Найти: а
Дано: r, n=6

14.

Группа 1 Дано: R, n=3 Найти: а
r
R
180
an 2 R sin
n
a3
0
0
180
3
0
a3 2 R sin
2 R sin 60 2 R
R 3
3
2
a3 R 3

15.

Группа 2
Дано: R, n=4
Найти: а
a4
r
180
an 2 R sin
n
R
0
0
180
2
0
a4 2 R sin
2 R sin 45 2 R
R 2
4
2
a4 R 2

16.

Группа 3 Дано: R, n=6
Найти: а
a6
r
R
180
an 2 R sin
n
0
0
180
1
0
a6 2 R sin
2 R sin 30 2 R R
6
2
a6 R

17.

Группа 4 Дано: r, n=3
r
r
R
0
180
cos
n
R
a3
0
Найти: а
180
an 2 R sin
n
0
r
r
R3
2r
0
1
cos 60
2
180
3
0
a3 2 R sin
2 2r sin 60 4r
2 3r
3
2
a3 2 3r

18.

Группа 5 Дано: r, n=4
a4
r
R
r
R
1800
cos
n
Найти: а
180
an 2 R sin
n
0
r
r
R4
2r
0
cos 45
2
2
0
180
2
0
a4 2 R sin
2 2r sin 45 2 2r
2r
4
2
a4 2r

19.

Группа 6 Дано: r, n=6
a6
r
R
1800
cos
n
Найти: а
180
an 2 R sin
r R
n
r
r
2r
R6
0
cos 30
3
3
2
0
180
2r
4r 1 2r
0
a6 2R sin
2
sin 30
6
3
3 2
3
2r
a6
3
0

20.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
а3 R 3
a3 2 3r
a4 R 2
a4 2r
a6 R
2r
a6
3

21.

Подведем итог
Мы знаем формулы:
180
an 2 R sin
n
180
r R cos
n
1
S
Pr
2
0
0
а3 R 3 a3 2 3r
a4 R 2 a4 2r
a6 R
2r
a6
3

22.

23. Решаем задания №3

24. Паркеты из правильных многоугольников

• В математике паркетом называют
«замощение» плоскости
повторяющимися фигурами без
пропусков и перекрытий.
Простейшие паркеты были
открыты пифагорейцами около
2500 лет тому назад.
Они установили, что вокруг одной точки могут лежать либо шесть
правильных многоугольников (3600: 600 = 6), либо четыре
квадрата (3600: 900 = 4), либо три правильных шестиугольника
(3600: 1200 = 3), так как сумма углов с вершиной этой точки равна
3600.

25.

26. ПАРКЕТЫ ИЗ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Паркеты из одинаковых правильных
многоугольников
Паркеты из разных правильных многоугольников

27.

28.

29.

30. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ

Правильные многоугольники
встречаются в природе. Один
из примеров – это пчелиные
соты, которые представляют
собой прямоугольник,
покрытый правильными
шестиугольниками. На этих
шестиугольниках пчелы
выращивают из воска ячейки,
представляющие собой
прямые шестиугольные
призмы. В них пчелы и
откладывают мед, а затем
снова покрывают сплошным
прямоугольником из воска.

31. Правильные многоугольники в природе

Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах
форму правильного шестиугольника?
Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее
экономно используют площадь внутри небольшого
улья и воск для изготовления ячеек.
Причем пчелиные соты представляют собой не
плоский, а пространственный паркет, поскольку
заполняют пространство так, что не остается
просветов.
И как не согласиться с мнением пчелы из сказки
«Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам
самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы
поучиться, познавая геометрию моих сот».

32. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ

Многие простейшие
морские организмы
( радиолярии )
имеют форму
правильных
многоугольников

33. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ

Снежинки имеют
форму правильных
многоугольников

34.

35.

36. В мире растений правильные многоугольники тоже встречаются, но гораздо реже.

37. Эти удивительные правильные многоугольники

38. Мне понравился урок и я узнал много интересного.   Мне понравился урок, но я испытывал затруднения.   Мне не понравился урок.

Мне понравился урок и я узнал много интересного.
Мне понравился урок, но я испытывал затруднения.
Мне не понравился урок.