Вычислительная математика

1. Практика №4 Вычислительная математика группа в35309904/90021

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Практика №4
Вычислительная математика
группа в35309904/90021
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНТ, к.ф.-м.н.
[email protected]
10.11.2021

2. Содержание

• Вычисление норм векторов и матриц
• Оценка собственного числа
• Теорема Гершгорина
• Вычисление невязки и числа обусловленности

3. Вычисление норм векторов и матриц

Нормы векторов и матриц
N
x 1 xi
x2
i 1
N
A 1 max aij
j
,
i 1
N
x
i 1
x max xi
2
i
i
A 2 max i i A A
Вычислите x 1, x 2 и x вектора
Вычислите A 1 и A матрицы
T
N
A max aij
i
1
2
x
5
4
4
1
A
1
2
2 0 1
5 3 1
4 7 1
2 0 5
j 1

4. Оценка собственного числа

2. Оценка
max
max A
Используя
A 1 и A , оцените max для матрицы
4
1
A
1
2
2 0 1
5 3 1
4 7 1
2 0 5
Какая норма даёт лучшую оценку ?

5. Теорема Гершгорина

3. Верно ли утверждение, что матрица имеющая нулевое собственное значение
вырожденна, а значит её определитель равен нулю ?
4.Теорема Гершгорина утверждает, что все собственные числа матрицы лежат на
N
комплексно й плоскости в объединении кругов радиуса Ri aij
j 1
j i
с центром в точке aii ,0
Применяя теорему Гершгорина для транспоированной матрицы, получим что все собственные
N
числа матрицы лежат на комплексно й плоскости в объединении кругов радиуса Ri a ji
j 1
j i
с центром в точке aii ,0
Какие из трёх матриц заведома невырожденны ?
3
1
A
1
2
2 0 1
5 3 1
4 7 1
2 0 5
4
1
B
1
2
2 0 1
5 2 1
4 7 1
2 0 5
4
1
С
1
1
2 2 1
5 3 1
1 7 2
1 0 5

6. Вычисление невязки и числа обусловленности

5. Для системы уравнений Ax b вычислите невязку r b A~
x и
число обусловленности A cond A A A 1 , используя A 1 и A , если
,
,
3 0 1
A 2 4 0
1 1 4
6
b 10
15
1
~
x 1
2