Некоторые приемы решения целых уравнений

1.

Некоторые приемы решения
целых уравнений
mathvideourok.moy.su

2.

Теорема :
Если уравнение а0 х п а1 х п 1 ... ап 1 х ап 0
в котором все коэффициенты целые числа,
причем свободный член отличен от нуля,
имеет целый корень, то этот корень
является делителем свободного члена.

3.

1) х 8х 13х 2 0
3
2
делители числа 2 : 1; 2
Проверка показывает, что корнем уравнения
является число 2.
Разделим левую часть уравнения на х 2
х 8 х 13х 2
3
2
х 2х
3
2
6 х 2 13х
6 х 2 12 х
х 2
х 2
0
х 2
2
х 6х 1
( х 2)( х 6 х 1) 0
2

4.

( х 2)( х 2 6 х 1) 0
х2 6 х 1 0
х 2 0;
х 2
Д
2
к ас 9 1 8 0(2к )
4
к
х1;2
а
Д
4 3 8
1
Ответ : 2;3 8;3 8

5.

Решите уравнения :
а) х 4 х 3х 2 0
3
2
б ) х3 х 2 9 х 6 0
в) х3 2 х 2 5 х 6 0

6.

Возвратные уравнения
Возвратным уравнением называется
уравнение вида
а0 х а1 х
п
п 1
... ап 1 х ап 0
В котором коэффициенты членов
уравнения, одинаково отстоящих от
начала и конца, равны.

7.

Решите уравнение
х 5х 6 х 5х 1 0 / : х 0
5 1
2
х 5х 6 2 0
х х
1
1
2
( х 2 ) 5( х ) 6 0
х
х
1
Пусть х п, тогда
х
1 2
значит
2
(х ) п
1
2
2
х
х 2 п 2
х
1
2
2
х 2 2 п
2
п 2 5п 6 0
х
4
3
2
2

8.

п 2 5п 4 0
Д в 2 4ас 25 16 9 0(2к )
в Д 5 3
п1 4; п2 1
п1;2
2а
2
2)если п 1, то
1)если п 4, то
1
1
х 1/ х 0
х 4 / х 0
х2
х
2
х
х
1
0
х 4х 1 0
2
Д
2
Д
в
4ас
к ас 4 1 3 0(2к )
4
Д
к
4 2 3
х1;2
а
1
1 4 0 корней нет
Ответ : 2 3; 2 3

9.

Решите уравнение
а) х 5 х 2 х 5 х 1 0
4
3
2
б )4 х 3 х 14 х 3 х 4 0
4
3
2
в )6 х 5 х 38 х 5 х 6 0
4
3
2

10.

Решение уравнений с
использования свойств
возрастания и убывания функции
х5 х 2 0
делители числа 2 : 1; 2
Проверкой убеждаемся, что корнем
этого уравнения является число 1
Теперь докажем, что он единственный
х х 2 0
5
х х 2 Рассмотрим функции
у х5
5
у х 2
у х 2 убывающая
у х5 возрастающая
Значит по теореме о корне это
уравнение имеет единственный корень
Ответ :1